Основне пояснення функції форми

Я щойно почав вивчати ФЕМ на більш структурованій основі порівняно з тим, що я раніше робив під час моєї бакалавриату. Я роблю це, тому що, незважаючи на те, що я можу використовувати "FEM" у комерційному (та іншому некомерційному) програмному забезпеченні, я хотів би реально зрозуміти підземні методи, які підтримують метод. Ось чому я приїжджаю сюди з таким, принаймні для досвідченого користувача техніки, основним питанням.

Зараз я читаю досить популярну (мені здається) та "дружню до інженерів" книгу, яку "Зеніквич" називає "Метод кінцевих елементів - основи". Я читав цю книгу з першої сторінки, але поки не можу зрозуміти поняття функції форми так, як це пояснює Зіенквіч.

Що я знаю про те, що я читав, - це те, що матриця "Жорсткість", яка пов'язує невідомі з результатом ( в: A k = b ), має свої компоненти з "зв'язків між вузлами" , і якщо це "співвідношення" змінюється (тобто, якщо ми змінюємо його на інтерполянт вищого порядку), ця матриця жорсткості змінюється, оскільки взаємозв'язок між вузлами.$A$$Ak=b$

Але в цій книзі визначення для мене досить нечітке, оскільки в певному моменті воно говорить про те, що ви можете довільно вибрати функцію як матрицю ідентичності:

Єдине пояснення, яке я знайшов, є в цьому блозі , але воно все ще не так зрозуміло для мене. Отже, хтось може дати мені просте пояснення, що таке функція форми і як це робиться для того, щоб "помістити" його в матрицю жорсткості?

Я завжди знаходив підхід до опису методів кінцевих елементів, який зосереджується на дискретній лінійній системі і працює назад без зайвих заплутань. Набагато зрозуміліше піти іншим шляхом, навіть якщо це передбачає трохи математичних позначень на початку (які я спробую звести до мінімуму).

Припустимо, що ви намагаєтесь розв’язати рівняння . Якщо ми зараз запишемо u h як лінійну комбінацію цих базових векторів, нам залишиться лінійна система для невідомих коефіцієнтів у цій комбінації. (Терміни v $A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$ задовольняє A u h = f . Це все ще нескінченномірне через простір діапазону (який будемо вважати, що для простоти буде також V ), тому ми просто попросимо, щоб залишковий A u h - f ∈ V був ортогональним до V h - або рівнозначно , що v T h ( A u h - f ) = 0 для кожного базового вектора v h в V $u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

При інженерному підході до FEM в структурній механіці, як це представлено, ви втрачаєте відчуття, що ви розв'язуєте часткові диференціальні рівняння .

Вони показують вам ці матриці, вони надають певного фізичного значення, і, на мою думку, це призводить до розвитку сумнівної фізичної інтуїції для поля.

Можливо, буде корисно подумати про предмет геометрії. Рішенням граничної задачі для PDE є деяка форма. Колись В.І. Арнольд сказав, вихваляючи досягнення Ньютона в цій галузі, перефразуючи - він зробив дивовижну справу, створивши поле диференціальних рівнянь, дозволивши переформулювати проблеми природничих наук до геометричних задач кривих у площині та поверхнях у просторі.

У FEM ви наближаєте рішення (у FD та FVM ви наближаєте керуюче рівняння).

Увійти Борис Глігорійович Галеркін. Що сказав Б.Г.Галеркін?

Він сказав: " Я хочу, щоб ви не мали змоги робити залишкові ті самі основні функції, що ви використовували для створення рішення. "

(PS Ця історія абсолютно не відповідає дійсності, і я закликаю своїх читачів знайти краще пояснення методу (Бубнов-) Галеркіна, якщо він існує).

Основні функції або пробні функції - це ті, які ви використовуєте для побудови рішення. Ви використовуєте їх для наближення форми розчину.

$Ku=f$

$Ku=f$

Найважливіше, що потрібно знати про "функції форми", - це те, що вони описують, як залежна змінна (і), яку ви хочете обчислити (наприклад, переміщення), змінюється як функція просторових координат елемента (наприклад, x і y) в перерахунку на деякі невідомі скалярні параметри.

Часто функції форми є простими поліномами, а скалярні параметри - це значення залежних змінних у вузлах елементів.

Формування рівнянь кінцевих елементів за допомогою цих функцій форми вимагає декількох інших принципових понять, таких як встановлення "слабкої форми" часткового диференціального рівняння, яке ви намагаєтеся вирішити.

Існує багато непотрібного "містицизму", пов'язаного з методом кінцевих елементів, тому я закликаю ваш підхід намагатися глибоко зрозуміти основи.

Я приймаю лекцію 4 за адресою http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . Зокрема, це дає вам уявлення про те, чому ми обираємо функції капелюхів, якими ми зазвичай користуємось, коли ми використовуємо метод кінцевих елементів, а саме тому, що вони призводять до важливої ​​концепції рідкості, хоча багато інших варіантів базових функцій були б однаково справедливі.

Кожен елемент пов’язаний з ним моделлю переміщення, яка виражає зміну змінної поля (залежної змінної) у переліку узагальнених коефіцієнтів та незалежних змінних (x, y, z), наприклад: 1D u (x) = a0 + a1x для 2-х покликаних лінійних елемент u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 для 3-х покликаних квадратичних елементів тощо. Тут ai s - узагальнені коефіцієнти. Тоді ми усуваємо ai s та виражаємо варіацію змінної поля з точки зору функцій форми та вузлових значень змінної поля. наприклад: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Функція, яка пов'язує зміну змінної поля з вузловим значенням змінної поля, називається "ФУНКЦІЯ СИСТЕМИ". Кількість функцій форми залежатиме від кількості вузлів та кількості змінних на вузол. Тому функції форми можна розглядати як функції, які позначають внесок кожного вузлового значення у внутрішніх точках елемента. Для двох зв'язаних елементів У вузлі 1 внесок N1 - це єдність, а для N2 - нуль.

У вузлі 2 внесок N2 - це єдність, а в N1 дорівнює нулю.

В середині точки елемента обидва вузли мають рівну вагу або вплив. Таким чином, функції фігури вказують не тільки на те, як змінна поля змінюється в залежності від елемента, але і на скільки впливає кожне вузлове значення змінної поля у внутрішніх точках елемента. Щасливого навчання :)

Я також пояснив функції фігур більш докладно тут: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Це наочно пояснює візуально, як працює метод Релі-Рітца. Написання цієї статті нарешті допомогло мені зрозуміти функції фігури.

на моє розуміння .. функції форми - це не що інше, як співвідношення між змінними поля та вузловими точками.

Припустимо, що наша земля знаходиться під тиском зовнішніх навантажень і наша земля тріскається. аналітичним методом ми використовуємо безліч формул і з'ясовуємо, що в якійсь частині (наприклад, на Азіатському континенті) земля руйнується. Використовуючи метод FEM, ми ділимо землю на різні країни, штати та міста, ми з'єднуємо кожне місто і, нарешті, приєднуємось до всіх міст, щоб утворити одну земну кулю під назвою земля. Функція форми - це ключ, який забезпечує міст між сітчастими містами, щоб утворити державу і країну, і, нарешті, земну кулю. саме посилання з'єднує сітку. Після того, як це зроблено, застосовується навантаження і точно знайдеться місце, коли починається тріщина, і яку можна посилити.

сподіваюся, що це вам допомогло.

Згідно з тим, що я розумію про функції фігури, це те, що йдеться про з'єднання геометричних вузлових координат з переміщенням Елемента з тією ж функцією форми.

Розглянемо 1D випадок. Штрих з 2 вузлами на ньому закінчується.

Коли я з'єдную цей елемент з його вузловими координатами, я можу з’ясувати зміщення в будь-якій точці цього елемента за допомогою функції інтерполяції.

Отже, в основному функції форми - це наближення, які ми робимо для того, щоб знайти деформацію в будь-якій точці простору похвальним чином.

Функції форми - це функції, які відносять зміщення у будь-якій точці елемента до зміщення вузлів елемента. Графік функції фігури проти точок на елементі показує деформовану "форму" елемента і, отже, функцію форми імені.