Як я можу обчислити основу для матричної алгебри Лі з заданим набором генераторів?

З огляду на довільний набір (числові) квадратних комплексних матриць , Я зацікавлений в обчисленні алгебра Лі речової матриці , породжену , назвемо його . Тобто, я хотів би основу для де визначається рекурсивно як $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

, і

при

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Цей розрахунок випливає з (квантової) теорії управління.

В даний час я використовую метод, знайдений тут, який здійснює пошук лише через повторні дужки Lie (тобто такі, як форма ), і гарантовано припиняється. Однак мені цікаво знати, чи існують інші (швидші) методи. Можливо, використовуючи основи П. Холла? Можливо, рекурсивний алгоритм? На даний момент моєю мовою за замовчуванням є Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ян Хінкс
джерело

Я здогадуюсь, що ваші оригінальні генератори є гермітами. Це правда? Якщо так, я думаю, що першим кроком було б порівняння власних просторів генераторів, оскільки комутатори є лише ненульовими, коли власні простори відрізняються.

— Джек Поульсон

@JackPoulson Так, А походять від гамільтоніанців, і так вони косо-ермітіани (а не ерміти, тому що вони помножені на i в рівнянні Шредінгера). Я не впевнений, що розумію, чому це був би хороший перший крок. Хіба не обчислити комутатори та перевірити, чи є вони не нульовими, швидше, ніж зіткнутися з власними просторами?

— Ян Хінкс

Для одного рівня комутаторів, ймовірно, так. Але виникає комбінаторний вибух, коли ви починаєте розглядати кілька рівнів комутаторів. Я не знаю алгоритму, але зазвичай корисно використовувати якомога більше структури. Я ретельно подумав би про те, чи знали ви якісь інші властивості, що стосуються також ваших генераторів.

— Джек Поульсон

Це посилання описує, як це зробити за допомогою баз П. Холл.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Ерік П.
джерело

@EricP Дякую за посилання, дуже корисно. Бази П. Холла я бачив лише в контексті вільних алгебр Лі, яких я не розумію, і я радий знати, що моя інтуїція про те, щоб позбутися лінійно залежних комутацій, була правильною. Числова точність - це те, про що я дуже переживаю. Ви маєте на увазі, що я повинен порівняти швидше норму p (A) з нормою A? І що це було б більш стабільно, ніж порівняння норми Ap (A) з 0?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$