Експоненція матриці косо-ермітової матриці з фортраном 95 та ЛАПАК

11

Мене просто втягують у фортран 95 для деяких моделей квантової механіки. Чесно кажучи, мене зіпсувала Октава, тому я сприйняла матричну експонацію як належне. З огляду на (малу, ) косий- гермітську матрицю розміром , який найефективніший спосіб використання LAPACK для вирішення цієї проблеми? Я не використовую обгортку LAPACK95, просто прямі дзвінки в LAPACK. $n\leq 36$ $n\times n$

fortran lapack

— квабайт
джерело

2

Чи потрібен показник матриці сам по собі, чи тобі потрібен показник матриці, помножений на вектор?

— Павло

@Paul: Вибачте, раніше цього не бачив. Ні, мені потрібна вся матриця.

— квіте

Чому хтось спростував це питання? Якщо ви заявляєте, будь ласка, залиште причину в коментарях! Можливо, питання можна вдосконалити таким чином.

— квіте

Ми покладаємось на DGPADM , але, як каже Джек Поулсон, може бути кращий шлях.

— Майк Данлаве

16

Експоненти матриці косо-ермітових матриць обчислити дешево:

Припустимо, - ваша косо-ермітська матриця, тоді - ермітинець , і через джеевд та друзів ви можете отримати розкладання $A$ $iA$

i A = U Λ U^{H},

$iA = U \Lambda U^H,$

де є унітарною матрицею власних векторів і є реальним і діагональним. Тоді, банально, $U$ $\Lambda$

A = U (- i Λ) U^{H} .

$A = U (-i \Lambda) U^H.$

Після того, як у вас є і , можна легко обчислити $U$ $\Lambda$

\exp (A) = \exp (U (- i Λ) U^{H}) = U \exp (- i Λ) U^{H}

$\exp(A)=\exp(U (-i\Lambda) U^H)=U \exp(-i\Lambda) U^H$

спочатку виставляючи власні значення, встановлюючи через zcopy , виконуючи , виконуючи zscal на кожному стовпчику з експонованим власним значенням і, нарешті, встановлюючи свій результат на $B := U$ $B := B \exp(-i \Lambda)$

\exp (A) := B U^{H}

$\exp(A) := B U^H$

через zgemm .

— Джек Поульсон
джерело

Дякую! Я пропустив очевидну хитрість там із

. Ви поставили мене на конкретні підпрограми LAPACK, які мені потрібні, тому додаткові подяки за це. Я поки не позначу це як правильне (спершу хочу перевірити це).

i

$i$

— квіте

1

Без поспіху. Я реально реалізував це раніше, тому я досить впевнений :-)

— Джек Поульсон,

Це буде одним з тих чарівних біт коду, який я використовую всюди. Що варто, я також покладу подяку в коментарний рядок, який, мабуть, ніхто більше не побачить.

— квіте

2

@JackPoulson: Добре зіграно, сер. Це те, що я отримую за вибір основного, який не вірить у уявні числа (крім власних значень).

— Джефф Оксберрі

1

@JackPoulson: Це прекрасно працює. Ще раз дякую за це. Особливо біт zscal. Я мав більшу частину решти коду в іншій підпрограмі, але це було те, що я не помічав.

— квіте

5

Оскільки я перебуваю на своєму телефоні, я не можу легко зв’язати речі, а посилання додаватимуть пізніше. Ви, напевно, захочете поглянути на статтю "19 сумнівних способів обчислення матричної експоненції", бібліотеку Фортран EXPOKIT, статті Джитза Нісена про методи Крилова для обчислення експоненції матриці, а також деякі з останніх робіт Ніка Хігхема про матричні експоненції. Частіше добуток добутку матриці експоненціального та вектора, ніж показник матриці поодинці, і тут методи Крилова можуть бути дуже корисними. Для менших, щільних матриць, таких, як ви описуєте, методи Padé могли б бути кращими, але я мав великий успіх з методами Крилова, коли використовувався всередині експоненціальних методів для чисельної інтеграції ODE.

— Джефф Оксберрі
джерело

Дякую. Мені відомо 19 сумнівних способів , а також експокіт, але деякі люди, з якими я працюю, знаходяться в галузі, тому я хочу уникати цього з міркувань авторських прав. Мені дуже хочеться реалізувати це за допомогою LAPACK / BLAS, оскільки я вже посилаюся на ці бібліотеки. Однак одна річ; Мені потрібна сама матриця експоненції. Я працюю над варіантом квантової технологічної томографії, і процес, про який йде мова, втілюється матрицею. Пізніше я матиму справу з інтегратором у поєднанні з цією матричною експоненцією, що стає, коли це стає цікавим!

— квіте

1

Складний підхід до власного рішення є математично правильним, але він робить більше роботи, ніж потрібно. На жаль, вдосконалений підхід, який я збираюся описати, не може бути реалізований за допомогою викликів LAPACK.

$X$

X = U D U^{T}

$X = U D U^T$

$U$ $D$ $2\times 2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $\exp(0)=1$ $2\times 2$

\exp (\begin{matrix} 0 & - t \\ t & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{matrix})

$\exp \begin{pmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$

Після цього задається експоненціальна матриця, яку ви хочете

\exp (X) = U \exp (D) U^{T}

$\exp(X) = U \exp(D) U^T$

Я використовував цей підхід у своїх квантових кодах хімії протягом декількох десятиліть, і жодного разу не мав жодних проблем із програмним забезпеченням.

— Рон Шепард
джерело

Привіт @Ron Shepard, і ласкаво просимо до обчислювальної біржі SE. Чи можете ви редагувати друге та третє рівняння? Їх трохи важко зрозуміти.

— nicoguaro

0

Якщо все, що вам потрібно, це експоненціальна матриця, помножена на вектор, то ця підпрограма fortran може бути вам корисною . Він обчислює:

$(e^A)v$

де v - вектор, а A - звичайна герміціанова матриця. Це підпрограма з бібліотеки EXPOKIT

В іншому випадку ви можете розглянути цю підпрограму, яка працює для будь-якої загальної складної матриці А.

— Пол
джерело

Це не схоже на посилання на бібліотеки Fortran.

— Джефф Оксберрі

@GeoffOxberry: я переписав це, щоб включити підпрограми fortran

— Пол

@Paul: Не боюся нічого доброго. Те, що я роблю, - це всематрична варіація процесу томографії. Крім того косого- герміця!

— квіте

Я вдячний, що ви переписали свою відповідь, але на основі редагування сліду виходить, що ви повністю змінили свою відповідь, взяли елементи моєї хронологічно попередньої відповіді та додали посилання.

— Джефф Оксберрі

@GeoffOxberry: Навпаки ... Мої результати прийшли незалежно від твоїх, але ти опублікував, перш ніж я отримав можливість переписати свою відповідь :)

— Пол