Які відносні переваги використання Адамса-Моултона над алгоритмом Адамса-Башфорта?

Я вирішую систему з двох зв'язаних PDE в двох просторових вимірах і в часі, обчислювально. Оскільки оцінки функцій дорогі, я хотів би використовувати багатоступінчастий метод (ініціалізований за допомогою Runge-Kutta 4-5).

Метод Адамса-Башфорта, що використовує п'ять попередніх оцінок функції, має глобальну помилку (це випадок, коли у статті Вікіпедії, на яку посилається нижче), і вимагає однієї оцінки функції (на PDE) за крок.$O(h^5)$$s=5$

З іншого боку, метод Адамса-Моултона вимагає двох оцінок функції за крок: одну для кроку прогнозування та іншу для кроку коректора. Ще раз, якщо використовувати п'ять оцінок функції, глобальна помилка - . ( у статті Вікіпедії)$O(h^5)$$s=4$

Отже, які міркування використовувати Адамса-Моултона над Адамсом-Башфортом? Він має помилку того ж порядку для подвоєної кількості оцінок функції. Інтуїтивно має сенс, що метод предиктора-коректора повинен бути сприятливим, але чи може хтось це пояснити кількісно?

Довідка: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

Метод Адамса-Моултона значно стабільніший. Аналогія, яку застосовували, коли мене навчали, різниця така ж, як екстраполяція та інтерполяція. Інтерполяція є відносно безпечною чисельно. Екстраполяція може вибухнути, якщо у вас є асимптота чи інша дивна особливість.

Наприклад, розв’язування оди

$y'(t) = -y(t)$ при$y(0) = 1$

використання методу Адамса-Башфорта третього порядку фактично стає більш нестабільним у міру зменшення часового кроку . Додавши крок коректора, ви уникнете значної частини цієї нестабільності. Тут показано графік областей стійкості для двох методів:

Сюжет взятий з «Мистецтва наукових обчислень » Грегорі Бейкера та Едварда Овермена. - власне значення вашого ODE, - часовий крок. Зауважте, що може бути складним, тому сюжети знаходяться на складній рівнині. Якщо знаходиться у стабільному просторі, ода буде сходитися. Якщо вона знаходиться поза, з часом інтеграція часу стане нестабільною. Зауважте, що для стабільності всі власні значення вашої ODE або ODE повинні знаходитись у стабільній області.$\lambda$$h$$\lambda$$\lambda h$