Експоненція матриці реальної асиметричної матриці з Fortran 95 і LAPACK

Нещодавно я задав запитання по тим же принципам для косо-ермітських матриць. Натхнений успіхом цього питання, і після удару головою об стіну пару годин, я дивлюся на матричний експонент реальних асиметричних матриць. Шлях до пошуку власних значень та власних векторів здається досить складним, і, боюся, я заблукав.

Передумови: Деякий час тому я задав це питання теоретичній фізиці СВ. Результат дозволяє мені сформулювати майстерні рівняння як реальні асиметричні матриці. У незалежному від часу випадку головне рівняння вирішується шляхом експоненції цієї матриці. У залежності від часу це потребує інтеграції. Мене зараз хвилює лише незалежність від часу.

Після дивлячись на різних підпрограма я думаю , що я повинен називати ( ? Gehrd , ? Orghr , ? Hseqr ...) не ясно , якщо було б простіше кинути матрицю з real*8до complex*16і продовжити складні подвійні версії цих процедур, або дотримуйтесь real*8і прийміть удвічі подвоєну кількість моїх масивів і складаючи складну матрицю з них пізніше.

Отже, які підпрограми я повинен дзвонити (і в якому порядку) і чи слід використовувати реальні подвійні версії або складні подвійні версії? Нижче наводиться спроба зробити це з реальними подвійними версіями. Я застряг у пошуку власних значень та власних векторів L*t.

function time_indep_master(s,L,t)
  ! s is the length of a side of L, which is square.
  ! L is a real*8, asymmetric square matrix.
  ! t is a real*8 value corresponding to time.
  ! This function (will) compute expm(L*t).

  integer, intent(in)    :: s
  real*8,  intent(in)    :: L(s,s), t
  real*8                 :: tau(s-1), work(s), wr(s), wi(s), vl
  real*8, dimension(s,s) :: time_indep_master, A, H, vr
  integer                :: info, m, ifaill(2*s), ifailr(2*s)
  logical                :: sel(s)

  A = L*t
  sel = .true.

  call dgehrd(s,1,s,A,s,tau,work,s,info)
  H = A
  call dorghr(s,1,s,A,s,tau,work,s,info)
  call dhseqr('e','v',s,1,s,H,s,wr,wi,A,s,work,s,info)
  call dhsein('r','q','n',sel,H,s,wr,wi,vl,1,vr,s,2*s,m,work,ifaill,ifailr,info)

  ! Confused now...

end function

Я б спершу подумав дуже важко про те, чи дійсно матриця є абсолютно довільною: чи є якась трансформація, яка зробила б її ермітією? Чи гарантує фізика, що матриця повинна бути діагоналізованою (з розумно обумовленою матрицею власного вектора)?

Якщо виявиться, що насправді не існує жодної симетрії для експлуатації, то слід почати з читання дев'ятнадцяти сумнівних способів обчислення матричної експоненціалі , що є стандартним посиланням (і написане автором MATLAB та співавтором G & vL) .

На основі того, що сказав Джек, стандартний підхід, який, здається, використовується в програмному забезпеченні (наприклад, EXPOKIT, згаданий у вашому попередньому запитанні), полягає в масштабуванні та вирівнюванні з подальшим наближенням Паде (Методи 2 і 3) або методами підпростори Крилова (Метод 20). Зокрема, якщо ви дивитесь на експоненціальні інтегратори, ви захочете розглянути методи підпростору Крилова та подивитися статті про експоненціальні інтегратори (деякі посилання згадуються разом із методом 20 у статті Moler & van Loan).

Якщо ви пекла, нахилені до використання власних векторів, подумайте про використання трикутних систем власних векторів (метод 15); оскільки ваша матриця може бути недіагоналізованою, такий підхід може бути не найкращим, але це краще, ніж намагатися обчислити власні вектори та власні значення безпосередньо (тобто метод 14).

Зведення до форми Гессенберга не є хорошою ідеєю (метод 13).

Мені не видно, чи вам краще подавати справжню чи складну арифметику, оскільки складна арифметика Fortran є швидкою, але може переповнювати / переповнювати (див. "Наскільки краще насправді компілятори Fortran?" ).

Ви можете сміливо ігнорувати Методи 5-7 (методи, що базуються на вирішенні ODE, неефективні), методи 8-13 (дорогі), метод 14 (обчислення власних векторів великих матриць важко без спеціальної структури та схильних до числових помилок у невмовно обумовлених випадках) і Спосіб 16 (обчислення Йорданового розкладання матриці чисельно нестабільне). Методи 17-19 складніші у здійсненні; зокрема, Методи 17 та 18 потребують більшого читання. Спосіб 1 - це резервний варіант для масштабування та зменшення розмірів, якщо наближення Паде не працює добре.

$B_{j}$

де - середнє значення власних значень діагональної матриці го блоку. Таке розкладання зробить майже нільпотентним, що підвищить точність експоненціальних обчислень матриці. Цей трюк обговорюється на сторінці 26 версії папери Moler & van Loan, до якої звернувся Джек. j E $\gamma_{j}$$j$$E_{j}$

У мене є проста підпрограма Fortran, яка обчислює показник довільної матриці. Я перевірив це проти команди Matlab, і це добре. Він заснований на масштабуванні та квадраті. Я написав це кілька років тому.

Мені б хотілося уточнити іншу підпрограму, як-от ті, які я завантажую з gams.nist.gov. Але поки не пощастило.