Як накласти граничні умови методами кінцевих різниць

У мене виникає проблема, коли я хочу використовувати наближення різниці різниць середнього рівня:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

для рівняння Пуассона

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ у квадратній області, в якій граничні умови:

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Коли я хочу отримати значення внутрішніх точок домену, враховуючи це наближення, деякі точки залежать від зовнішніх точок кордону. Наприклад, має мати значення точка, яка знаходиться поза межами межі. Чи може хто-небудь допомогти мені у цій справі? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— левова
джерело

Я припускаю, що ви використовуєте граничні умови диріхлету, правильно?

— Пол

Будь ласка, вкажіть граничні умови, які ви хочете встановити.

— Девід Кетчесон

Можливо, ключ полягає у використанні граничних умов для отримання обмежень, що стосуються цих значень. Я не можу розширити, оскільки я ніколи не намагався вирішити числовий PDE, але ця ідея працює для ODE. Хтось може це підтвердити?

— astrojuanlu

За допомогою методів високого порядку може бути важко забезпечити стабільність методу, заповнивши таким чином клітини привидів. Однак, еліптичні проблеми, як правило, більше прощають мій досвід, тому ви, можливо, зможете піти з цим.

— Джеремі Коздон

лево, ви можете відредагувати своє запитання та додати там граничні умови, що набагато краще, ніж ставити їх у коментарі.

— Девід Кетчесон

Відповіді:

Ви можете розглянути методи кінцевих різниць підсумовування по частинах (SBP). Кен Метсссон проробив багато роботи над цими методами. Гарне місце для початку - тут (постійні коефіцієнти) і тут (змінні коефіцієнти).

Фактично, як ці методи працюють, це вони є стандартними центральними методами в інтер'єрі та переходом до однобічного біля кордону. Важливою частиною технології СБП є те, що перехід до однобічних є таким, що стабільність методу для проблем, залежних від часу, може бути доведена навіть після включення граничних умов. (Це можливо тому, що самі оператори "визначають" норму, яка імітує дискретно інтеграцію за частинами.)

Ви говорите, що ви дивитесь на рівняння Пуассона, я не зовсім впевнений, наскільки граничні умови стабільно включені до операторів SBP та еліптичних рівнянь. У мене є колега, який грав з цими проблемами з еліптичними проблемами і, здається, вказує, що це не дуже важливо, чим ти займаєшся.

— Джеремі Коздон
джерело

Існують і інші трафарети, які можна використовувати для отримання високої точності порядку біля граничних точок. Ваш поточний трафарет має форму:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Але ви також можете використовувати інший трафарет поблизу такої межі:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

обчислити значення при . Зауважте, що коефіцієнти у другому трафареті будуть відрізнятися від коефіцієнтів у першій формулі. $u_{1,1}$

Аналогічно ви можете наблизити значення до протилежної межі за аналогічною формулою.

— Пол
джерело

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Як я можу отримати коефіцієнти?

— Лева

Щоб зрозуміти, як вивести формули скінченної різниці, хорошим посиланням є глава 1 книги Левека: fakultet.washington.edu/rjl/fdmbook . Він становить серію Тейлора і трохи алгебри.

— Девід Кетчесон

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$ sum to 1, and as many other terms as possible sum to zero.

— Paul

-4

please see my fdm paper which you can locate in researchgate under my name david Edwards jr. if you have questions I would be glad to help.

david

— david
джерело

Simply giving instructions for people to search elsewhere is not a useful answer. At a minimum, you should provide a summary of the answer here and provide a link to more details. Furthermore, many of us disagree with the way ResearchGate is run and therefore avoid all interactions with that site, making it impossible to see your paper with your suggested method.

— Doug Lipinski

Please revise your answer to include a summary of whatever background you think is needed to answer the question. Answers are meant to be relatively self-contained; referring a reader to search for one's paper is not self-contained, and is far less helpful than providing a summary of its contents.

— Geoff Oxberry