Обчислення характеристичного многочлена реальної розрідженої матриці

Дано загальну розріджену матрицю з m << n (корекція: ) ненульові елементи (як правило, ). є загальним у тому сенсі, що він не має специфічних властивостей (наприклад, позитивна визначеність) і не передбачається жодна структура (наприклад, смуга).$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$$m \ll n^2$$m \in {\cal O}(n)$$A$

Які є хороші числові методи обчислення або характерного многочлена, або мінімального многочлена ?$A$

Якщо $O(n^3)$складність не є пробкою, тоді ви можете поглянути на метод Данилевського. Він досить відомий у російській літературі про числову лінійну алгебру, але англійською мовою не так багато інформації. Ви можете почати за цим посиланням .

Ідея досить відверта: матриця поступово зводиться до нормальної форми Фробеніуса шляхом перетворень подібності «Гауссовій елімінації». Якщо ви не знайдете інформацію, я можу зробити алгоритм більш досконалим.

Для обчислення власних значень вашої родової матриці ви можете використовувати числовий метод, як QR-факторизація чи метод живлення та його реалії (зворотна потужність тощо). Після цього ви можете обчислити свій характерний многочлен шляхом факторизації як: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0, де λi - обчислені власні значення. Ось коротка презентація про владу та QR-методи:

QR-Power

До речі: Ви хотіли сказати, що маєте $m \ll O(n^2)$записи? Якщо справді $m \ll O(n)$ тоді більшість рядків і стовпців будуть повністю порожніми, і цілком ймовірно, що характерний многочлен насправді не є ступенем $n$ але ступеня $O(m)$.