Оцінка коливальних інтегралів з безліччю незалежних періодів і без закритих форм

Більшість методів для коливальних інтегралів, які я знаю, стосуються інтегралів форми

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$ де

ω

$\omega$ великий.

Якщо у мене є інтеграл форми

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$ де

g_{k}

$g_k$ - це коливальні функції, коріння яких відомі лише приблизно, але якась асимптотична форма

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$ відомо, з частотами

ω_{k}

$\omega_k$ всі різні (і

Q

$\mathbb{Q}$ -лінійно незалежна), то як я можу оцінити цей інтеграл?

На відміну від у випадку з $e^{i\omega x}$ , многочлен інтегралів $\int x^a \prod g_k(x)$ невідомі, тому я не можу побудувати набір поліноміальних інтерполянтів для $f(x)$ та точно інтегруйте інтерполянти.

В моїй точній проблемі, $g_k$ - це функції Бесселя $J_0(\omega_k x)$ , і $f(x)=x^\alpha$ , а область інтеграції - це $[0,\infty)$ . Метод, яким я зараз користуюся, полягає в підбитті цілісних внесків за інтервали $[x_{k-1},x_k]$ між корінням до деякого зрізу $M$ , тоді використовуйте асимптотичне розширення для $g_k(x)$ для великих $x$ . Часова складність цього алгоритму експоненціальна в $n$ тому що це передбачає розширення продукту $g_1\ldots g_n$ , кожен з яких має номер $r$ асимптотичних термінів, даючи $r^n$ загальні умови; Занадто малі терміни обрізки не скорочують час виконання, щоб зробити це можливим для великих $n$ .

Евристичні не суворі відповіді, пропозиції та посилання вітаються.

quadrature

— Кирило
джерело

Відповіді:

Я працював над більш простими інтегралами, де є точки нерухомої фази. Я знайшов два методи, які працюють досить добре.

Перший полягає в тому, щоб ввести експоненціальний коефіцієнт демпфування, який залежить від фазової функції, свого роду штучну в'язкість, якщо вам подобається.

Інша методика (де є кілька точок статистичної фази) була описана в:

Tuck, EO, Collins, JL and Wells, WH, "Про корабельні хвилі та їх спектри", Journal of Ship Research, pp. 11–21, 1971.

Цей метод застосовує експоненціальні коефіцієнти розпаду до інтегралу, де він стає швидко коливальним від статі. фазові точки, але інтегрант залишає недоторканим там, де його немає.

Це я не з ідей!

— Лисистрата
джерело

Дякую, але я не зовсім бачу, як би це працювало в цьому випадку. З одного боку, на реальній лінії немає точок нерухомої фази, і внески коливань є істотними для кінцевої величини, тому їх не слід затухати.

— Кирило

Поки у вас є точні значення для коренів (або екстремумів) коливальної частини вашого інтегранда, метод Лонгмена (як я описав у цій відповіді ) залишається застосовним. Все, що вам потрібно зробити, - це оцінити купу інтегралів з інтервалами між коренями, використовуючи ваш улюблений метод квадратури, і трактувати ці інтеграли як умови деяких змінних рядів. Потім можна використовувати будь-яку кількість методів прискорення конвергенції (Ейлер, Левін, Венігер та ін.), Щоб "підсумувати" цей змінний ряд.

Як приклад, у цій відповіді math.SE я оцінив нескінченний інтеграл, коливальна частина якого є продуктом двох функцій Бесселя.

— JM
джерело

Чи не має значення, що коріння розташовуються неправильно (усі періоди нераціональні та незалежні)? Чому б ви довіряли прискоренню конвергенції для такої неправильної послідовності?

— Кирило

Це був деякий час тому, я хотів оцінити інтеграл до тисячі цифр, і якщо я добре пам’ятаю коливальну квадратуру, це було власне перше, що я спробував. Я не пам’ятаю результатів, але не думаю, що в той час це спрацювало добре.

— Кирило

"Чому б ви довіряли прискоренню конвергенції для такої неправильної послідовності?" - Я б не довіряв лише одному прискорювачу, тхо. Але, якщо хоча б три різні прискорювачі дають мені стійкі результати, я думаю, що отримані цифри принаймні правдоподібні. FWIW, я використовував Longman для нескінченних інтегралів продуктів функцій Бесселя, і я ніколи не був розчарований, особливо коли використовував трансформацію Венігера як прискорювач.

— JM

Метод, який я описую у запитанні, також є коливальним квадратурним методом: розширюємо інтеграл на ряд доданків форми

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$ , нескінченні інтеграли, для яких мають замкнуту форму. Я б довірився такому методу більше, ніж прискоренню конвергенції. Наскільки я розумію, вони вимагають чогось на кшталт сильної монотонності чи гарного розуміння термінів помилок, щоб переконатися, що вони добре працюють.

— Кирило

Якщо ви можете зробити (узагальнене) розширення Фур'є, то впевнений.

— JM