Числова інтеграція компактно підтримуваної функції на трикутнику

як випливає з назви, я намагаюся обчислити інтеграл компактно підтримуваної функції (квінтичний многочлен Венленда) на трикутнику. Зауважте, що центр функції знаходиться десь у тривимірному просторі. Я інтегрую цю функцію в довільний, але малий трикутник ( $area < \frac{(radius/4)^2}{2}$ ). На даний момент я використовую інтеграцію, описану Dunavant, 1985 (p = 19).

Однак видається, що ці квадратурні правила не підходять для компактно підтримуваних проблем. Це підтверджується тим, що коли я інтегрую $f(r) = [r\leq1]$ (так що функція, що дорівнює 1 всередині кола радіуса 1) на площині, яка дискретизується за допомогою трикутників, мої (нормалізовані) результати знаходяться між 1.001 та 0.897.

Отже, моє запитання полягає в тому, чи існує спеціалізоване правило квадратури для такої проблеми? Чи буде краще працювати композиційне правило інтеграції нижчого порядку?

На жаль, ця процедура є дуже важливою для мого коду, тому точність є вирішальною. З іншого боку, мені потрібно зробити цю інтеграцію "кілька разів" за один часовий крок, тому обчислювальні витрати не повинні бути занадто великими. Паралелізація - це не проблема, тому що я сама виконуватиму інтеграцію послідовно.

Заздалегідь дякую за відповіді.

EDIT: Квінтичний многочлен Вендленда задається $W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$з$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2: Якщо - двовимірний трикутник, то я хочу обчислити з . Тож в ніколи не буде меншим за 0. Зверніть увагу, що інтеграл - це поверхневий інтеграл над 2-D поверхнею в$\Delta$$\int_\Delta \omega(r) dr$$\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$$q$$W$$\mathbb{R}^3$

EDIT3: У мене є аналітичне рішення для 1-D (рядкової) проблеми. Вирахування одного для 2-D (трикутника) також може бути можливим.

Оскільки функція є гладкою в межах , але не з фіксованим ступенем (тобто в площині, тобто), я б запропонував використовувати просту адаптивну схему, наприклад, трапеційне правило за методом Ромберга , в обох вимірах.$q \leq 2$

Тобто, якщо ваш трикутник визначений вершинами , y і z ∈ R 3 , і у вас є рутина, яка інтегрується уздовж лінії від до , ви можете зробити наступне (у позначенні Matlab):$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

У цьому rombвипадку не використовуйте фіксовану кількість очок, але продовжуйте рости таблицю, поки різниця між двома послідовними діагоналями не буде нижче необхідного допуску. Оскільки ваша функція є рівною, це має бути хорошою оцінкою помилок.

Якщо частини трикутника знаходяться за межами домену , можна спробувати відповідно скорегувати межі інтеграції у наведеному вище коді.$W(q)$

Це може бути не найбільш обчислювально ефективним способом вирішення вашої проблеми, але адаптивність дасть вам набагато більше стійкості, ніж буде встановлено правило фіксованого ступеня.

Для хорошого огляду правил кубатури див. "Р. Кулс, Енциклопедія кубатурних формул J. Complexity, 19: 445-453, 2003". Використання фіксованого правила може дати вам перевагу в тому, що деякі правила точно інтегрують поліноми (як квадратура Гаусса в одновимірному).

Cools також є одним з головних авторів CUBPACK , програмного пакету для чисельної кубатури.

Правила інтеграції передбачають, що функція локально добре апроксимована поліномом низького ступеня. Ваша проблема не має нічого спільного з компактною підтримкою. Компактно підтримувані радіальні основи функції плавні на межі опори, і правила квадратури до порядку гладкості можуть використовуватися без проблем. (Правила вищого порядку не допомагають; тому, ймовірно, ви не повинні використовувати правило, яке точно інтегрує поліноми ступеня 5.)

У вашому випадку неточність випливає з того, що у вашому випадку припущення про добру поліноміальну приблизність не вдається для трикутників поблизу , навіть коли вони не містять r 0 .$r_0$$r_0$

гладкий як функція q , але q - негладна функція r , з градієнтом, який стає нескінченним у межі r → r 0 . Інтеграція закінчена r , а складова функція - негладка функція r .$W$$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

Якщо трикутник не містить , то функція C i n f, але це не допомагає, оскільки вища похідна дуже швидко зростає близько до r 0 , а похибка методу високого порядку пропорційна похідній високого порядку, отже, дуже великий!$r_0$$C^inf$$r_0$

Простий засіб полягає в тому, щоб розділити кожен трикутник T на кількість N_T підкутників. Ви можете взяти далеко від r 0 , а N T ≫ 1 близько r 0 . Ви можете визначити в режимі офлайн, яким повинен бути великий N T для трикутників заданого діаметра та відстані від r 0, щоб досягти бажаної точності. Крім того, слід використовувати лише формули низького порядку, близькі до r 0 .$N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

Коли ви інтегруєтесь через трикутник, але є тривимірним, трикутник, мабуть, знаходиться в R 3 .$r_0$$R^3$

Тому більш швидкий засіб би підсумовував інтеграл для як функцію трикутникових координат (нормалізується, обертаючи його у двовимірній площині x y, таким чином, що одна вершина лежить на осі x і відображає його таким чином, що друга вершина лежить над нею). Ця таблиця повинна бути достатньо детальною, щоб зробити лінійну чи квадратичну інтерполяцію достатньо точною. Але ви можете скористатися повільним методом, окресленим спочатку для створення цієї таблиці.$r_0=0$$xy$$x$

Інший спосіб позбутися проблеми - це використання компактно підтримуваної функції радіальної основи, яка є поліномом у а не у q . Це скрізь гладко і легко інтегрувати.$q^2$$q$