Як щодо цієї простої оцінки помилок для лінійного PDE?

10

Нехай - опукла полігонально обмежена область Ліпшица в , нехай . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Тоді розв’язання задачі Діріхле в , ім'я на має унікальне рішення в і добре поставлене, тобто для деякої постійної нас є . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Для деякого наближення кінцевого елемента $u_h$ , скажімо, з вузловими елементами на рівномірній сітці маємо оцінку помилок

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Здається (я, мабуть, помиляюся з цим), що люди зазвичай не використовують очевидну оцінку помилок

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

яку ми можемо отримати, поєднавши вищевказані дві нерівності. Натомість розробники післяпоріозних помилок розробляються в різних формах. Єдине заперечення, яке я можу уявити проти вищезгаданого рівняння, - це те, що константа $C$ на практиці може бути занадто песимістичною чи не достовірно оцінюваною.

pde finite-element error-estimation

— шухало
джерело

8

Причина, чому люди вважають за краще використовувати першу оцінку, на мою думку, полягає в тому, що перша, природно, виникає з ортогональності Галеркіна FEM, властивості інтерполяційного наближення та, головне, коерцитивності білінеарної форми (для граничної проблеми рівняння Пуассона , це еквівалентно нерівності Пуанкаре / Фрідріха для функцій ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ у - у_{год} ‖_{Н^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (у - у_{год}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (у - у_{год}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (у - у_{год}) \cdot \nabla (у - у_{год}) \\ = \int_{Ω} \nabla (у - у_{год}) \cdot \nabla (у - Я у) \\ \leq ‖ \nabla (у - у_{год}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (у - Я у) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (у - у_{год}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (у - Я у) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} год ‖ у ‖_{Н^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ де залежить від постійної в нерівності Пуанкаре / Фрідріха для функцій , - інтерполяція у кінцевій простір елементів і

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ залежить від мінімальних кутів сітки.

Хоча оцінка еліптичної регулярності знаходиться виключно на рівні PDE, не має нічого спільного з наближення, плюс наведений вище аргумент має місце навіть тоді, коли є розподілом. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Тепер переходимо до причини, чому широко використовуються оцінки постеріорі помилок, головним чином тому, що:

Це обчислюється, немає вираженої константи у вираженні оцінок.
Оцінювач має свою локальну форму, яка може бути локальним індикатором помилки, використовуваним у процедурі адаптивного очищення сітки. Тому проблема з особливостями або справді "поганими" геометріями може бути вирішена.

Обидві оцінки апріорного типу, які ви перерахували, є дійсними, вони надають нам інформацію про порядки конвергенції, однак жодна з них не може бути локальним індикатором помилок лише для одного трикутника / тетраедра, оскільки жодна з них не може бути обчислена через постійну , а також вони не визначаються локально.

EDIT: Для отримання більш загального погляду на FEM для еліптичних PDE, я настійно рекомендую прочитати розділ 0 у книзі Бреннера та Скотта: Математична теорія методів кінцевих елементів , що складається лише з 20 сторінок і коротко висвітлює майже кожен аспект методів кінцевих елементів , від рецептури Галеркина з PDE, до мотивації, чому ми хотіли б використовувати адаптивну FEM для вирішення якоїсь проблеми. Сподіваюся, що це допоможе вам більше.

— Шухао Цао
джерело

1

Ваша оцінка занадто песимістична на двох фронтах. Ви вже визначили перший ( тепер включає не тільки інтерполяційну константну, але й постійну стабільність). Другий - оцінка помилки дійсно читає Зауважимо, що праворуч має семінар , а не норму. Звичайно, ти можеш зв'язати резус за повною нормою, але ти знову програєш. $C$

‖ \nabla е ‖_{L_{2}} \leq С год | у |_{Н^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Вольфганг Бангерт
джерело