Чому міркування домочадців не можуть діагоналізувати матрицю?

При обчисленні QR-факторизації на практиці використовується відображення Householder для нульового виведення нижньої частини матриці. Я знаю, що для обчислення власних значень симетричних матриць найкраще, що ви можете зробити з відображеннями Householder, - це отримати його в тридіагональну форму. Чи існує очевидний спосіб зрозуміти, чому його не можна повністю діагоналізувати таким чином? Я намагаюся пояснити це просто, але я не можу придумати чітку презентацію.

При обчисленні власних значень симетричної матриці найкраще, що можна зробити з рефлектором Householder, - це привід M до тридіагональної форми. Як уже згадувалося в попередній відповіді , тому що М симетрична існує ортогональное перетворення подібності , яке призводить до діагональної матриці, тобто D = S T M S . Було б зручно, якби ми могли знайти дію невідомої ортогональної матриці S суворо за допомогою рефлекторів Householder, обчисливши послідовність відбивачів і застосувавши H T зліва на M і $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$$M$$M$$D=S^TMS$$S$$H^T$$M$$H$від права на . Однак це неможливо через те, як побудований відбивач побутових пристроїв нульових стовпців. Якби ми обчислили рефлектор Householder, щоб нуль вийшов з усіх цифр нижче M 11, ми знаходимо M = $M$$M_{11}$ Але тепер записи M 12 - M 1 n були змінені відбивачем H T 1, застосованим зліва. Таким чином, коли ми застосуємо H 1 праворуч, він більше не дорівнює нулю першому рядкуM,залишивши лише M 11 . Замість цього отримаємо H T 1 M=

$$M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ $M_{12}-M_{1n}$$H^T_1$$H_1$$M$$M_{11}$ Там, де ми не тільки не нульові рядки, але ми можемо зруйнувати нульову структуру, яку ми щойно ввели за допомогою відбивача H T 1 . $$H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1MH_1=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ $H^T_1$

$M$$H^T_1$

$$M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ * &* & * & *&* \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ *' &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right).$$ $$H^T_1M=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &* & * & *&* \\ *' &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ 0 &*' & *' & *'&*' \\ \end{array}}\!\!\right)\rightarrow H^T_1MH_1=\left(\!\!{\begin{array}{ccccc} * &*' & 0 & 0&0 \\ *' &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ 0 &*'' & *'' & *''&*'' \\ \end{array}}\!\!\right).$$

Applied recursively this allows us to drive $M$ to a tridiagonal matrix $T$. You can complete the diagonalization of $M$ efficiently, as was mentioned previously, using Jacobi or Givens rotations both of which are found in the Golub and Van Loan book Matrix Computations. The accumulated actions of the sequence of Householder reflectors and Jacobi or Givens rotations allows us to find the action of the orthogonal matrices $S^T$ and $S$ without explicitly forming them.

As the Comments to other Answers clarify, the real issue here is not a shortcoming of Householder matrices but rather a question as to why iterative rather than direct ("closed-form") methods are used to diagonalize (real) symmetric matrices (via orthogonal similarity).

Indeed any orthogonal matrix can be expressed as a product of Householder matrices, so if we knew the diagonal form of a symmetric matrix (its eigenvalues), we could solve for a complete set of orthonormalized eigenvectors and represent the corresponding change of basis matrix as a product of Householder transformations in polynomial time.

So let's turn to Victor's parenthetical comment "other than Abel's theorem" because we are effectively asking why iterative methods should be used find the roots of a polynomial rather than a direct method. Of course the eigenvalues of a real symmetric matrix are the roots of its characteristic polynomial, and it is possible to go in the other direction as well. Given a real polynomial with only real roots, it is possible to construct a tridiagonal symmetric companion matrix from a Sturm sequence for the polynomial. See also that poster Denis Serre's Exercise 92 in this set. This is rather nice for showing the equivalence of those problems since we've seen (@AndrewWinters) the direct application of Householder matrices will tridiagonalize a real symmetric matrix.

Analysis of the arithmetic complexity for an iterative (root isolation) method is given in Reif (1999), An Efficient Algorithm for the Real Root and Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problems. Reif's approach improves on tailored versions of QR for companion matrices, giving $O(n \log^3 n)$ instead of $O(n^2)$ complexity.

The Abel-Galois-Ruffini Theorem says that no general formula for roots of polynomials above degree four can be given in terms of radicals (and usual arithmetic). However there are closed forms for roots in terms of more exotic operations. In principle one might base eigenvalue/diagonalization methods on such approaches, but one encounters some practical difficulties:

1. The Bring radical (aka ultraradical) is a function of one variable, in that respect like taking a square root. Jerrad (c. 1835) showed that solving the general quintic could be reduced to solving $t^5 + t - a = 0$, so that univariate function $t(a)$ (used in addition to radicals and other usual arithmetic) allows all quintics to be solved.

2. This breaks down with degree six polynomials and above, although various ways can be found to solve them using functions of just two variables. Hilbert's 13th Problem was the conjecture that general degree seven polynomials could not be solved using only functions of at most two variables, but in 1957 V.I. Arnold showed they could. Among the multivariable function families that can be used to get solutions to arbitrary degree polynomials are Mellin integrals, hypergeometric and Siegel theta functions.

3. Besides implementing somewhat exotic special functions of more than one argument, we need direct methods for solving polynomials which work for general degree $n$ rather than ad hoc or degree specific methods. Guàrdia (2002) gives "a very simple expression of the roots of a polynomial of arbitrary degree in terms of derivatives of hyperelliptic theta functions." However this approach requires making choices of Weierstrass points on hyperelliptic curve $C_f: Y^2 = f(x)$ where all roots of polynomial $f(x)$ are sought. A good choice leads to expressing less than half of those roots, and it appears this approach requires repeated trials to get all of them. Each trial involves solving a homogeneous linear system at $O(n^3)$ cost.

Therefore the indirect/iterative methods for isolating real roots (equiv. eigenvalues of symmetric matrices), even to high precision, currently have practical advantages over the known direct/exact methods for these problems.

For what reason do you assume that this is impossible?

Any symmetric real matrix $S$ can be orthogonally diagonalized, i.e. $S = G D G^t$, where $G$ is orthogonal and $D$ is diagonal.

Any orthogonal matrix of size n×n can be constructed as a product of at most n such reflections.Wikipedia. Therefore you have this decomposition.

I am not sure about the last statement, I just cite it (and I think it is correct). As far as I understand your question, it boils down to whether any orthogonal matrix can be decomposed into a sequence of Householder transforms.

Якщо власні значення вже відомі (за попереднім розрахунком на основі звичайного підходу), можна використовувати їх для тріангулізації несиметричної матриці (або діагоналізації симетричної матриці) твором на $n-1$Роздуми домочадців. В$k$й крок $k$ту колону доводять до трикутної форми. (Це також забезпечує простий індуктивний доказ існування факторизації Шура.)

Це насправді корисно для методів, коли неодноразово потрібна ортогінальна матриця в чисельно стабільній факторній формі.