FEM: особливість матриці жорсткості

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

Дотримуючись схему FEM, я звожу свою проблему до задачі оптимізації

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ Вводяться кінцеві елементи

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ як

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ для будь-якого

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ , де

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ . Кінцеві елементи

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ і

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ вводяться аналогічно.

Я намагаюся знайти числовий вектор $\alpha$ таким, щоб $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ вирішував задачу оптимізації. У нас

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ де

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ і

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ . Після диференціації відносно

α

$\alpha$ я отримую

V α = b,

$V\alpha = b,$ але тут матриця жорсткості

V

$V$ є сингулярною. То що мені робити? Можливо, мені доведеться вибирати інші кінцеві елементи?

finite-element

— Аплікація
джерело

Привіт, Німза, у тебе проблема з тестом, що ти знаєш точне рішення? Якщо так, спробуйте вирішити

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ спочатку, щоб перевірити, чи є ваша основа всередині домену, якщо все виглядає правильно, то, можливо, саме неправильно поставлений BC робить матрицю єдиною. Але БК здається мені нормальним.

— Shuhao Cao

Відповіді:

У порядку зменшення ймовірності

Неправильна основа. З вашого опису виходить, що у вас є рівно дві квадратичні функції з підтримкою кожного елемента. Цей простір не є розділом єдності і не є (безперервні перші похідні). Щоб дискретизувати свою проблему четвертого порядку безпосередньо (замість того, щоб зменшити її до системи рівнянь другого порядку, наприклад), вам знадобиться база . Зауважимо, що база повинна мати можливість точно відтворювати всі лінійні функції. $C^1$ $C^1$ $C^1$
Недостатні граничні умови. Це буде очевидно очевидно, якщо обчислити та побудувати нульовий простір.
Неправильна збірка. Перевірте карту від елементів до зібраного замовлення, щоб підтвердити, що це те, що ви очікували, наприклад, що воно не змінює орієнтацію елементів.
Неправильне місцеве зібрання. У 1D ви можете аналітично обчислити, як виглядає матриця жорсткості елемента (можливо, для спрощеного випадку) і перевірити, чи відтворює його код.

— Джед Браун
джерело

Дякую. 1. Я думаю, що мені знадобиться основа тому що . Тоді, якщо я розглядаю лише функції, які відповідають граничним умовам, то .

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— Аплікація

базис досить, підінтегральна не повинна бути безперервною. Зауважимо, що граничні умови для другої похідної стануть граничним інтегралом. Ви можете використовувати основу для прямої дискретизації проблеми четвертого порядку, але вам потрібно буде інтегрувати терміни стрибка, як і при розривних методах Галеркіна для систем першого та другого порядку. Це не поганий метод, але він є надмірно складним в 1D, оскільки так легко створювати бази з будь-яким порядком безперервності (наприклад, сплайни). Ця стаття є прикладом " DG".

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— Джед Браун

Гаразд. Я виправив свою основу: тепер на і . Тепер це . Але метод все ще не працює.

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— Аплікація

Основа повинна бути здатна відтворювати лінійні функції, але це не може. Після виправлення цього перевірте, чи інтеграли виконуються правильно, а потім перевірте граничні умови.

C^{1}

$C^1$

— Джед Браун

Очевидно, що проблема має похідне замовлення ODD. Більш конкретно для більших чисел Пеклета , матриця жорсткості може не підтримувати «тонкої» форми, що створює нулі під час складання, і, отже, отримує сингулярний або іноді дуже малий визначник, який помітний коливаннями в графіку розчину.

Вирішення подібної проблеми - серед інших методів застосування штрафу. Більш конкретно це називається методом Петрова-Галеркіна .

Вибачте за моє погане розуміння англійської мови.

— Сохайл Ахмед
джерело