Небезпека складної арифметики в наукових обчисленнях

Комплекс скалярний твір має два різних визначень вирішує умовні позначення : · ¯u T V або ¯u T ° V . У BLAS я знайшов підпрограми cdotu, zdotu та cdotc, zdotc. Колишні дві процедури фактично обчислюють u T v (підроблений внутрішній продукт!), А останні два підпрограми поєднують перший вектор у внутрішньому продукті. Крім того , будь-який з визначення (кон'югат U або V ), ⟨ U , V ⟩ = ¯ ⟨ V , U $\langle u,v\rangle$$\bar{u}^Tv$$u^T\bar{v}$$u^Tv$$u$$v$$\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$з кон'югацією! Крім того, як зазначено в коментарі, вибір основних значень для багатозначних складних функцій може залежати від конвенції.

Моє запитання: чи спричинює це ускладнення справжню небезпеку для використання складної арифметики в наукових обчисленнях? Це питання наголошують автори deal.ii, які пропонують завжди ділити складні числа на реальну частину та уявну частину та використовувати лише реальну арифметику. Але я ніколи не знаходив підхід розщеплення як зручний. Наприклад, подумайте про PML для гармонійних рівнянь часу Максвелла.

Здається, турбота про використання складних чисел є поширеною у більшості програмних програм FEM з відкритим кодом, за винятком FreeFem ++ та libmesh. Але навіть за двома винятками, складна арифметика є менш перевіреною, ніж реальна.

Моє остаточне запитання: чи просто ми завжди уникатимемо використання складних чисел?

Ви говорите, що проблема складної арифметики полягає в тому, що існують різні способи визначення скалярного добутку для складних векторів, порівняно лише з одним способом у реальному випадку. Я думаю, що справжня проблема зі складним скалярним продуктом - це ще одна, яка, однак, тісно пов’язана з вашими спостереженнями.

У складній арифметиці порядок аргументів скалярного добутку має значення, тоді як у реальній арифметиці вони не мають значення. Багато алгоритмів по суті однакові за складною і реальною арифметикою, тобто потрібно просто написати їх один раз, а потім використовувати один і той же код для складної та реальної арифметики. (Наприклад, в C ++ ви можете використовувати для цього шаблони.) Коли ви закінчите писати свій код, ви зазвичай тестуєте його. Щоб виявити помилки в упорядкуванні аргументів у якомусь скалярному продукті, вам слід перевірити свій код із складною тестовою справою.

Ви часто отримуєте реальний значення коду алгоритму безкоштовно, коли у вас є робочий код для складних задач, що оцінюються. Коли ви перевірили свій код за допомогою складного тестового випадку, код часто також є правильним для реальних чисел. Перетворення справжнього коду в складний, однак, вимагає додаткової роботи. Тому існує просто більше кодів, які просто працюють (і ретельно перевіряються) для реальної вартості, ніж для складних проблемних цінностей.

Моє запитання: чи спричинює це ускладнення справжню небезпеку для використання складної арифметики в наукових обчисленнях?

Я б сказав "Так", таким чином. Коли код недостатньо перевірений на складні проблеми, існує більша ймовірність помилок у коді, але це залежить від конкретного коду, який ви шукаєте. Коли код добре перевірений, проблем немає.

Моє остаточне запитання: чи просто ми завжди уникатимемо використання складних чисел?

Як уже вказувалося, є проблеми, які неможливо вирішити за допомогою реальних чисел. Наприклад, обчислення власних значень несиметричних матриць. Отже, нам потрібна складна арифметика.

Ця стаття актуальна:

Відсікання гілок для елементарних складних функцій або багато іншого про біт знака нічого.

http://people.freebsd.org/~das/kahan86branch.pdf