Елементи Равіарт-Томас на опорному квадраті

Я хотів би дізнатися, як працює елемент Равіарт-Томас (RT). З цією метою я хотів би аналітично описати, як базові функції виглядають на опорному квадраті. Мета тут не в тому, щоб реалізувати це самостійно, а просто просто зрозуміти стихію.

Я багато в чому базую цю роботу на трикутних елементах, обговорених тут , можливо, подовження її на чотирикутники є помилкою саме по собі.

Враховуючи це, я можу визначити основні функції для першого елемента RK RK0:

для

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

Умови на є такими: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

де - одиниця, звичайна, показана нижче, а - її координата. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

Це опорний квадрат , тому це призводить до системи рівнянь для кожної базисної функції. Для це: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

які можна вирішити, щоб дати:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

Інші основні функції можна знайти аналогічно.

Якщо припустити, що це правильно, наступним кроком є пошук базових функцій для RK1. Тут я трохи не впевнений у собі. Відповідно до вище посилання, простір, який нас цікавить:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

Основою для буде $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Я думаю, це означає, що функції бази RK1 повинні мати вигляд:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Це залишає 10 невідомих для кожної базової функції. Якщо ми застосуємо ті ж умови, що і у випадку RK0, а саме:

, де - одиниця, нормальна як показано нижче:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

це дає нам 8 рівнянь. Інші 2, я думаю, можна знайти з деяких моментів. Я не дуже впевнений, як саме. Посилання вгорі говорить про інтеграцію в основу для , але у мене виникають труднощі з'ясувати, що це означає. Я на правильному шляху, чи зовсім щось тут пропустив? $[P_1]^2$

pde finite-element

— Лукаш Бистрик
джерело

Взагалі, ви не можете просто перенести ту саму полінома з чотиригранних на чотирикутні елементи. ¹ Зокрема, вся точка чотирикутних елементів полягає у роботі з тензорними добутками одновимірних многочленів, що неможливо для чотиригранних елементів.

$RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— Крістіан Класон
джерело

Дуже дякую за вашу відповідь, ви, очевидно, доклали багато зусиль до цього. Я думаю, що це усуває багато моїх помилок.

— Лукас Байстрик

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

Радий, що ти вважаєш це корисним; ваше питання цікаве, і ви також витратили багато зусиль. Компактна підтримка виходить з того, що поліноми визначаються лише на еталонному елементі - нагадайте, що Равіарт-Томас є елементами, що відповідають H (div), і таким чином функції в глобальному просторі кінцевих елементів не повинні бути безперервними.

— Крістіан Класон

Власне, це справедливо лише для базових функцій, підключених до внутрішніх ступенів свободи: (глобальні) основні функції, підключені до крайових ступенів свободи, підтримують (лише) два елементи, з'єднані краєм; для кожного іншого елемента вони встановлюються в нуль.

— Крістіан Класон

Насправді насправді: для крайових елементів лише звичайний слід повинен бути безперервним, а не сам поліном, тому навіть про це слід подбати автоматично, не розширюючи опори. Якщо вам потрібні докладніші відомості про глобальний простір Равіарт-Томас, я б запропонував вам розширити своє питання, і я спробую розширити свою відповідь.

— Крістіан Класон