Яка мета тестової функції в аналізі кінцевих елементів?

У хвильовому рівнянні:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Чому ми спочатку множимо на тестову функцію перед інтеграцією? $v(x,t)$

finite-element

— Енді
джерело

Коротка відповідь: Оскільки метод кінцевих елементів - це дискретизація слабкої рецептури, а не сильної формулювання (яку ви дали). Середня відповідь: Тому що ви не можете бути впевнені, що знайдете функцію кінцево-розмірної, такою, що рівняння буде задоволено в кращому випадку можна сподіватися, що залишок буде ортогональним для простору кінцевих розмірів рішення - або рівнозначно ортогональним для будь-якого елемента цього простору (що є саме тестовою функцією). Інтеграція за частинами не така важлива, і у вашому випадку заради симетрії. Довга відповідь занадто довга для коментаря :)

— Крістіан Класон

Ще одне коротке пояснення: Якщо ви просто інтегруєте і встановите нуль, ви просите, щоб середнє значення зникло - зовсім не те, що ви шукаєте, тому що тоді залишок може бути дуже великим в одній частині домену, якщо вона велика з протилежним знаком в іншому. Тестові функції по суті "локалізують" залишки для кожного елемента.

— Крістіан Класон

Для альтернативного пояснення дивіться цю відповідь: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— Пол

Відповіді:

Ти йдеш на це назад. Виправдання краще бачити, починаючи з варіативної установки та працюючи до сильної форми. Після того, як ви зробите це, концепція множення на тестову функцію та інтеграцію може бути застосована до проблем, де ви не починаєте проблему мінімізації.

Тож розглянемо проблему, де ми хочемо мінімізувати (і працювати тут формально, а не жорстко):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

з дотриманням деяких граничних умов на . Якщо ми хочемо, щоб це досяг мінімуму, нам потрібно диференціювати його відносно , що є функцією. Зараз існує кілька способів розглянути цей вид похідних, але один із способів його введення - це обчислення $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

де - просто скаляр. Ви можете бачити, що це схоже на традиційне визначення похідної для скалярних функцій скалярної змінної, але поширюється на такі функціонали, як які повертають скалярів назад, але мають свою область над функціями. $h$ $I$

Якщо ми обчислимо це для свого (в основному використовуючи правило ланцюга), ми отримаємо $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Встановивши це в нуль, щоб знайти мінімум, ми отримаємо рівняння, яке виглядає як слабке твердження для рівняння Лапласа:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Тепер, якщо ми використовуємо теорію дивергенції (також багатодимедійна інтеграція по частинах), ми можемо зняти похідну від і покласти її на щоб отримати $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Тепер це дійсно виглядає з того, з чого ви починаєте, коли хочете скласти слабке твердження з часткового диференціального рівняння. З огляду на цю ідею зараз, ви можете використовувати її для будь-якого PDE, просто помножте на тестову функцію, інтегруйте, застосуйте теорему про дивергенцію і потім дискретизуйте.

— Білл Барт
джерело

Я вважаю за краще пояснити це з точки зору мінімізації зваженого залишку.

— nicoguaro

@nicoguaro, гаразд, тоді ви можете написати цю відповідь, і ми побачимо, який з них має більше сенсу в ОП. :)

— Білл Барт

+1 за вказівку, що слабка форма насправді (або принаймні часто) більш природна, ніж сильна.

— Крістіан Класон

Цікаво. Вигляд дотичної, але щодо "Існує декілька способів розглянути цей вид похідних" : єдиний метод, про який я дізнався, - це той, який ви згадали. Які ще існують види?

— користувач541686

@Mehrdad Цей метод обчислює похідну спрямованості і перевіряє, що це лінійний оператор (в ) і, отже, похідна Gâteaux. Ви також можете прийти з іншого напрямку: Відгадайте лінійний оператор (наприклад, за аналогією з реальними функціями) і переконайтеся, що він задовольняє свого роду властивість наближення Тейлора першого порядку. Тоді це похідна Фреше (а значить, і похідна Гато).

h

$h$

— Крістіан Класон

Як я вже згадував, я вважаю за краще думати про слабку форму як про зважену залишок.

Ми хочемо знайти приблизне рішення . Давайте визначимо залишковий як $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

для випадку точного рішення залишком є нульова функція над доменом. Ми хочемо знайти приблизне рішення, яке є "хорошим", тобто таким, яке робить "малим". Отже, ми можемо спробувати звести до мінімуму норму залишкової (наприклад, методів найменшого квадрату), або якусь середню. Одним із способів цього є обчислення зваженого залишку, тобто мінімізація зваженого залишку $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

одна важлива річ у цьому полягає в тому, що він визначає функціонал, тому ви можете мінімізувати його. Це може працювати для функцій, що не мають варіативної форми. Я трохи більше описую в цьому пості . Ви можете вибрати функцію різними способами, як, наприклад, однаковий простір функції (методи Галеркіна), дельтові функції Дірака (методи колокації) або фундаментальне рішення (Метод граничних елементів). $w$ $\hat{u}$

Якщо ви виберете перший випадок, тоді ви отримаєте рівняння, подібне до описаного @BillBarth.

— nicoguaro
джерело