Проектування нульового простору

Враховуючи систему де , я прочитав, що, якщо ітерація Якобі використовується як розв'язувач, метод не конвергується, якщо має нульовий компонент у нульовому просторі . Отже, як можна формально стверджувати, що за умови, що має ненульовий компонент, що охоплює нульовий простір , метод Якобі є неконвергентним? Цікаво, як це можна математично формалізувати, оскільки частина рішення, ортогональна нульовому простору, зближується.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

Тому, проектуючи нульовий простір з кожного ітерату, він конвергується (або?). $A$

.........

Мене особливо цікавить випадок де - симетрична матриця Лаплаціа з нульовим простором, що охоплюється вектором , а має нульову складову в нульовий простір , де

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

- матриця центрування. Чи означає це, що кожен ітерат Якобі будепроектуватинульовий простір

, тобто кожен ітерат буде поцентру? Я запитую це з тих пір, не було б необхідності проектувати нульовий простір

з ітерацій Якобі (або, іншими словами, вцентріітерацій).

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

— usero
джерело

Це питання може бути актуальним і для вас: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

Дякую. Я фактично зробив там уривок із своїх коментарів, оскільки питання заслуговує на увагу саме по собі. Однак вищесказаного не було вирішено (принаймні не формалізовано).

— usero

О, сором мені, я не перевіряв, що це твоє власне питання.

— шухало

@JedBrown Ваша відповідь на scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… надихнула це питання. Я думаю, що це заслуговує на самостійне врахування. Я думаю, ви зможете розглянути вищезазначені питання.

— usero

$A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

Але якщо це так, рішення існує, і в квадратному випадку їх нескінченно багато.

$A$ $A^T$ $A$

— Арнольд Ноймаєр
джерело

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ є постійною за індукцією, отже, дорівнює нулю. - Але чому ви дбаєте про метод Якобі? Це дуже повільно!

— Арнольд Ноймаєр

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$