Який найкращий спосіб знайти розриви функції чорної скриньки?

Було запропоновано, що це може бути кращим місцем для цього питання, ніж обмін стеками математики, де я це задавав раніше .

Припустимо, функція "чорного поля", яку можна оцінити в будь-якому місці (дешево) на визначеному інтервалі і не має шуму (за винятком зернистості з плаваючою комою, скажімо). Який був би найкращий спосіб знайти розриви цієї функції? Я не знаю, скільки може бути розривів, а може бути і таких.$[a,b]$

Я можу придумати кілька простих методів (рівномірний відбір проб, уточнення там, де є великі відмінності між зразками, ...), але, можливо, є кращий спосіб?

Функція є "розумною", тому що можна припустити, що вона має щонайменше кінцево багато розривів, однакова для вищих похідних, я не заперечую, якщо пропущені невеликі патологічні розриви ... (додаток автоматизоване побудову 1d функцій) .

-

Дякую всім, хто відповів, зокрема Педро; метод, описаний у Pachón, Platte та Trefethen, здається, є найкращим підходом до мене, тому я зараз переходжу до його реалізації

Якщо ви використовуєте Matlab, вас може зацікавити проект Chebfun . Chebfun приймає функцію, відбирає її і намагається представити її як поліноміальний інтерполянт. Якщо у вашої функції є розриви, Chebfun повинен мати можливість виявити їх за допомогою splitting onкоманди. Ви можете знайти кілька прикладів тут .

Якщо вас цікавлять основні алгоритми, хороша довідка - папір Пахона, Платта та Трефетена " Piecewise Smooth Chebfuns ".

Я підозрюю, що алгоритм chebfun повинен видатися більш практичним, але необхідно згадати ще один спосіб виявлення розривів, а саме дискретне перетворення вейвлетів. Ви можете отримати уявлення про те, як це працює, переглянувши цю сторінку документації щодо Mathematica , див. Розділ> Програми> Виявити розриви та краї.

$f$

Методи зважених, по суті, не коливальних (ВЕНО) використовують "показники гладкості" для виявлення розривів у методах обмеженого обсягу та різниці. З опису Чебфуна, який дав Педро, здається, що загальна ідея однакова: побудуйте набір інтерполяційних поліномів і використовуйте їх для обчислення певної міри гладкості.

Див. GS Jiang та CW Shu, Ефективне впровадження зважених схем ENO, J.Comput.Phys., Vol. 126, арк. 202--228, 1996.

Поряд із @Pedro, я би розглядав алгоритми виявлення ребер. Переривчастість - це нескінченність похідної, тому варто поглянути на все більш тонку сітку та орієнтуватися на цікаві регіони.

Кінцеве наближення різниці до похідної безперервної функції повинно зменшуватися в міру уточнення сітки. Порівнюючи результат кінцевої різниці для похідної між сітками, то можна виявити розбіжності в градієнті, який сигналізує про розриви.

$f(x) = \mathrm{sign}(x) \sqrt{|x|}$$x=0$$h_x \rightarrow 0$