Сильні та слабкі рішення PDE

Сильна форма PDE вимагає, щоб невідомий розчин належав до . Але слабка форма вимагає лише того, щоб невідомий розчин належав до H 1 .$H^2$$H^1$

Як ви це погоджуєте?

Давайте розглянемо найпростіший випадок рівняння Пуассона

$$-\Delta u = f \tag{1}$$ на домі $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ разом з однорідними умовами Діріхле $$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$$ на межі $\partial\Omega$ від $\Omega$ . На даний момент ми припускаємо, що $\partial\Omega$ настільки ж гладкий, як ми хочемо (наприклад, може бути параметризований $C^\infty$ ) - це буде важливо пізніше.

Тепер питання полягає в тому, як інтерпретувати (чисто формальний) PDE $(1)$ . Зазвичай на це відповідають на те, як інтерпретувати похідну $\Delta$ , але для нашої мети краще зосередитись на тому, як інтерпретувати рівняння .

1. ФДЕ $(1)$ передбачається виконаним точково для кожного $x\in\Omega$ . Щоб це мало сенс, права частина $f$ повинна бути безперервною, інакше ми не можемо говорити про значення в точці $f(x)$ . Це означає, що другі (класичні) похідні рішення $u$ повинні бути безперервними, тобто треба шукати $u\in C^2(\Omega)$ .
   
   Функція $u\in C^2(\Omega)$ яка задовольняє $(1)$разом з граничною умовою $(2)$ точці називають класичним рішенням (іноді, на жаль, також сильним рішенням ).

2. Вимога, що $f$ постійно, є занадто обмежувальною для практичних застосувань. Якщо ми припустимо, що $(1)$ буде триматися в $x\in \Omega$ майже для кожного x ∈ Ω (тобто скрізь, крім множин Лебега, вимірюємо нуль), тоді ми можемо піти з $f\in L^2(\Omega)$ . Це означає, що другі похідні є функціями в $L^2$ , що має сенс, якщо ми беремо слабкі похідні і, отже, шукаємо $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (Пам’ятайте, що для функцій$u$ , які не є безперервними, ми не можемо прийняти граничну умову$(2)$ точці. Оскільки$\partial \Omega$ має нульову міру Лебега як підмножину$\bar\Omega$ , точково майже скрізь також не має сенсу.)
   
   Функція$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ що задовольняє$(1)$ точково майже скрізь, називається сильним рішенням. Зауважте, що взагалі необхідно і нетривіально показати, що таке рішення існує і є унікальним (що стосується прикладу тут).

3. Якщо ми вже маємо справу зі слабкими похідними, ми також можемо додатково послабити припущення на $f$ . Якщо візьмемо $(1)$ для абстрактного рівняння оператора $H^{-1}(\Omega)$ , подвійний простір $H^1_0(\Omega)$ , то це має сенс для всіх$f\in H^{-1}(\Omega)$ (що є a більший простір, ніж$L^2(\Omega)$ ). Досить за визначенням подвійного простору та слабкої похідної,$(1)$у цьому сенсі еквівалентно варіаційному рівнянню

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   Функція$u\in H^1_0(\Omega)$яка задовольняє$(3)$ , називаєтьсяслабким рішенням. Знову ж таки, загалом необхідно і нетривіально показати, що таке рішення існує і є унікальним (що стосується прикладу тут).

Тепер, оскільки класичні похідні також є слабкими похідними, кожне класичне рішення також є сильним рішенням. Аналогічно, вбудовуючи $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$ , кожне сильне рішення є також слабким рішенням. Інші напрямки більш тонкі.

• Якщо $(3)$ має унікальне рішення, яке до того ж задовольняє $u\in H^2(\Omega)$ для $f\in L^2(\Omega)$ (а не просто $H^{-1}(\Omega)$ ), то слабке рішення також є сильним рішенням (і для $n=2$ також класичне рішення, оскільки в цьому випадку $H^2(\Omega)$ вбудовується в $C(\bar\Omega)$ ). Ця властивість іноді називаєтьсямаксимальна (еліптична) регулярність, і справедливо для рівняння Пуассона, припускаючи, що межа $\partial\Omega$ (і граничні дані) є досить гладкою. (Ось звідки випливає вище припущення.)

• В іншому випадку може статися навіть для $f\in L^2(\Omega)$ що PDE має слабке рішення, але не сильне рішення.

• Якщо максимальна регулярність не дотримується, може також статися, що PDE має унікальне сильне рішення (що, отже, також слабке рішення), але не унікальне слабке рішення. Це означає, що існує багато слабких рішень, наприклад,$H^1_0(\Omega)$ , але лише один з них також знаходиться в$H^2(\Omega)$ і, отже, є сильним рішенням. (Фактичні приклади вимагають більш складних пробілів; див., Наприклад, Мейєр, Крістіан; Паніззі, Луція; Щела, Антон,критерії унікальності для суміжного рівняння в обмеженому станом еліптичному оптимальному керуванні; Числа. Функція. Анал. Оптим. 32, ні . 9, 983-1007 (2011).ZBL1230.35041або більш складні, нелінійні рівняння; див., наприклад, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)