Ілюстративні приклади методів міметичних кінцевих різниць

Наскільки я намагаюся знайти коротке пояснення в Інтернеті, я не можу зрозуміти поняття міметичної скінченної різниці, або як це навіть стосується стандартних кінцевих відмінностей. Було б дуже корисно побачити кілька простих прикладів того, як вони реалізовані для класичних лінійних PDE (гіперболічних, еліптичних та параболічних).

Не впевнений, що це відповідь, яку ви хотіли, але бачачи, як ніхто інший не відповів, я можу згадати GPL'd MATLAB Reservoir Toolbox , який використовує міметичні розв'язувачі для рівнянь тиску в симуляції резервуарів. Бачачи це рівняння,

Хороший приклад для початку описаний тут . Включені приклади використовують функціональний сценарій блоку MATLAB, де ви можете використовувати shift-enter для проходження етапів та огляду даних на кожному кроці.

Відповідні статті можна знайти тут . Перший документ проходить формулювання міметичного внутрішнього продукту, щоб ви могли пройти довге тривалість із кодом. Якщо ви не маєте MATLAB або не знайомі з мовою, це, мабуть, не дуже корисно - але я думаю, що прості приклади повинні бути сумісні і з Octave.

Існує магістерська робота "Порівняння між схемою наближення міметичної та двоточкової флюсових потоків на PEBI-сітках", яка проходить через деякі деталі, зокрема розділ 7.3.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

Побудова дискретного обчислення проходить у два етапи. Спочатку ми вибираємо дискретну форму для одного з основних операторів, що називається основним оператором. Тоді, виходячи з деякого підмножини диференціальних та інтегральних тотожностей, які ми вирішимо підтримувати, ми побудуємо інший фундаментальний оператор (и), названий похідними операторами. Вибір основного оператора залежить від програми та дискретизації. У певному сенсі основний оператор "підтримує" побудову похідних операторів. Закони збереження, симетрія рішення та суміжні зв’язки між різними операторами - приклади властивостей, які ми хочемо імітувати дискретні оператори.

Наприклад, SOM дискретизація рівняння лінійної дифузії міметична дискретизація буде імітувати

1. Теорема Гаусса-Гріна про виконання закону про охорону на місцях
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Гарантована симетрія та позитивність продукту дискретного розбіжності та дискретного потоку
4. Нульовий простір оператора дискретного потоку - це постійні функції.

Повна інформація про міметичну дискретизацію рівняння дифузії доступна в 1D або 2D .

Дивіться дисертацію Джерома Бонеля, яка розміщена на його веб-сайті або безпосередньо тут . Я вважав, що його глави 2 - 4 досить легко читати і дають приємний вступ. Він також розповідає про два приклади, один еліптичний PDE та рівняння Стокса.