Як ви підвищуєте точність методу кінцевих різниць для знаходження власної системи сингулярного лінійного ODE

11

Я намагаюся вирішити рівняння типу:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

Якщо має простий полюс при , для найменших власних значень та власних векторів. Граничними умовами є: і , і я дивлюся лише на функцію над . $f(x)$ $0$ $N$ $\psi(0) = 0$ $\psi(R)=0$ $(0,R]$

Однак, якщо я роблю дуже простий, рівномірно розподілений метод кінцевої різниці, Найменше власне значення є дуже неточним (іноді є "помилкове" власне значення, яке на кілька порядків більше негативного, ніж те, що я знаю, повинно бути там, справжнє "Перше власне значення" стає другим, але все ще залишається бідним).

Що впливає на точність такої скінченної різницької схеми? Я припускаю, що сингулярність - це те, що викликає проблему, і що нерівномірно розташована сітка значно покращить речі, чи є документи, які можуть вказувати мені на хороший нерівномірний метод кінцевих різниць? Але, можливо, вища схема різниці порядку вдосконалила б її більше? Як ви вирішили (або це просто "спробуйте і побачити")

зауважте: моя схема кінцевих різниць - симетрична тридіагональ, де 3 діагоналі:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

$\Delta$

finite-difference ode accuracy

— Ендрю Спотт
джерело

\frac{1}{Δ^{2}} - f (x)

$\frac{1}{\Delta^2}-f(x)$

6

Якщо ви хочете підвищити точність схеми кінцевих різниць, ви завжди можете спробувати збільшити ступінь трафарету. Однак на рівновіддалених точках це може призвести до числових нестабільності. Щоб уникнути цих проблем і все-таки отримати високу точність, я б запропонував використовувати Спектральні методи .

Якщо у вашій проблемі є фіксовані полюси, ви можете спробувати обійти їх, розділивши свій домен і вирішивши дві пов'язані проблеми.

chebgui $f(x)$

chebgui $-u''(x) - u(x)x = \lambda u$ $[-1,1]$

Використовуючи <code> chebgui </code> для обчислення власних значень та власних модулів простого диференціального рівняння другого порядку.

Оновлення

Якщо ви хочете вирішити цю проблему, не надто поглинаючись в Chebfun, всі деталі повинні бути описані в главі 9 книги Ніка Трефетена " Спектральні методи в Матлабі ".

— Педро
джерело

Я відредагував свій оригінальний пост, щоб зрозуміти, що я насправді не дивлюсь на полюс, а просто дуже поруч. Дякую за інформацію, мені доведеться перевірити chebfun.

— Ендрю Спотт

3

Проголосували без коментарів? На користь усім, ви могли б вказати, як можна відповісти на цю відповідь?

— Педро

0

Один із способів швидко покращити речі (хоча, ймовірно, не набагато краще) - розглянути схожість між методами кінцевих різниць найменшого порядку, якими ви користуєтесь, та методом кінцевих елементів найменшого порядку. Якщо ви обчислите тридіагональну матрицю, отриману за допомогою функцій лінійних кінцевих елементів у 1d, то дискретизація другої похідної буде виглядати точно так само (до коефіцієнта але ви отримаєте інший термін для чого відривається . я не знаю , як виглядає в вашому випадку, але де зараз використовується , то замість цього буде що - щось на зразок де $\Delta x$ $f(x)\psi(x)$ $f(x)$ $f(x_i)$ $\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$ $\varphi_i(x)$ - це функція капелюха, яка досягає максимальної точки . Якщо досить простий, то ви зможете точно обчислити цей інтеграл, і він забезпечить більш точну матрицю, яку ви повинні знайти власне значення. $x_i$ $f(x)$

Звичайно, якщо ви вже робите кінцеві елементи, ви можете також інвестувати у використання елементів вищого порядку, які не так вже й складні в 1d.

— Вольфганг Бангерт
джерело