∥u−uh∥≤C(h),
uuhhC(h)huuhhαh ) або ітераційними методами для вирішення рівнянь або задач оптимізації (з індексом ітерації
k - а точніше - замість ). Суть такої оцінки полягає в тому, щоб допомогти відповісти на запитання
"Якщо я хочу потрапити в, скажімо, точного рішення, наскільки мало мені потрібно вибрати1/kh10−3h ?"
Різниця між апріорними та задніми оцінками полягає у формі правої частиниC(h) :
У апріорних оцінках права частина залежить від (зазвичай явно) та , але не від . Наприклад, типова апріорна оцінка для наближення скінченного елемента рівняння Пуассонаhuuh−Δu=f мала б вигляд
з постійною c залежно від геометрії домену та сітки. У принципі, праву частину можна оцінити до обчислення u h (звідси і назва), тому ви зможете вибрати h, перш ніж щось вирішити. На практиці ні c, ні | u | Н
∥u−uh∥L2≤ch2|u|H2,
cuhhc відомо (упершу чергу ви шукаєте), але іноді ви можете отримувати оцінки порядку чи величини дляс, ретельно перебираючи докази та| u| використовуючи даніf(що відомо). Основне використання - це як якісна оцінка - це говорить про те, що якщо ви хочете зменшити помилку в чотири рази, вам потрібно вдвічі зменшитиh.|u|H2uc|u|fh
За апостеріорними підрахунками, права частина залежить від і u h , а не від u . Проста залишкова оцінка за рівнянням Пуассона буде
‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h ‖ f + Δ u h ‖ H - 1 ,
яку теоретично можна було б оцінити після обчислення u h . На практиці Н - 1huhu
∥u−uh∥L2≤ch∥f+Δuh∥H−1,
uhH−1норму проблематично обчислити, тож слід додатково маніпулювати правою стороною, щоб отримати обв’язану
елементами
де перша сума є над елементами K триангуляції, h K - розмір K , друга сума перевищує всі межі елементів F , а j ( ∇ u h ) позначає стрибок нормальної похідної u h через F . Це тепер повністю обчислюється після отримання u h , за винятком постійної c . Отже, використання в основному є якісним - воно говорить про те, які елементи дають більший внесок у помилку, ніж інші, тому замість зменшення h∥u−uh∥L2≤c(∑Kh2K∥f+Δuh∥L2(K)+∑Fh3/2K∥j(∇uh)∥L2(F)),
KhKKFj(∇uh)uhFuhchрівномірно, ви просто вибираєте деякі елементи з великими внесками помилок і робите ті менші, поділяючи їх. Це основа адаптивних методів кінцевих елементів .