Які відмінності між оцінкою помилок "a priori" та "posteriori" в числовому аналізі?

Я дізнався про метод кінцевих елементів (також трохи про інші числові методи), але не знаю, що саме є визначенням цих двох помилок та відмінностей між ними?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Ань-Ті DINH
джерело

Апріорні (від латинського "від більш раннього") оцінки залежать лише від точного, але не обчисленого приблизного рішення, а отже, можна (теоретично, якщо не на практиці) оцінювати перед обчисленням рішення. І навпаки, оцінки після (від латинського "від пізніших") залежать від обчисленого рішення, але не від точного рішення, тому вони вимагають обчислення рішення, але насправді можуть бути оцінені на практиці.

— Крістіан Класон

@ChristianClason - зробіть це відповіддю!

— Вольфганг Бангерт

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) або ітераційними методами для вирішення рівнянь або задач оптимізації (з індексом ітерації

k

$k$ - а точніше - замість ). Суть такої оцінки полягає в тому, щоб допомогти відповісти на запитання "Якщо я хочу потрапити в, скажімо, точного рішення, наскільки мало мені потрібно вибрати

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$ ?"

Різниця між апріорними та задніми оцінками полягає у формі правої частини $C(h)$ :

У апріорних оцінках права частина залежить від (зазвичай явно) та , але не від . Наприклад, типова апріорна оцінка для наближення скінченного елемента рівняння Пуассона $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$ мала б вигляд з постійною залежно від геометрії домену та сітки. У принципі, праву частину можна оцінити до обчислення (звідси і назва), тому ви зможете вибрати перш ніж щось вирішити. На практиці ні ні
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ відомо (першу чергу ви шукаєте), але іноді ви можете отримувати оцінки порядку чи величини для, ретельно перебираючи докази тавикористовуючи дані(що відомо). Основне використання - це як якісна оцінка - це говорить про те, що якщо ви хочете зменшити помилку в чотири рази, вам потрібно вдвічі зменшити. $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ $h$
За апостеріорними підрахунками, права частина залежить від і , а не від . Проста залишкова оцінка за рівнянням Пуассона буде яку теоретично можна було б оцінити після обчислення . На практиці $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ норму проблематично обчислити, тож слід додатково маніпулювати правою стороною, щоб отримати обв’язану елементами де перша сума є над елементами триангуляції, - розмір , друга сума перевищує всі межі елементів , а позначає стрибок нормальної похідної через . Це тепер повністю обчислюється після отримання , за винятком постійної . Отже, використання в основному є якісним - воно говорить про те, які елементи дають більший внесок у помилку, ніж інші, тому замість зменшення $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ рівномірно, ви просто вибираєте деякі елементи з великими внесками помилок і робите ті менші, поділяючи їх. Це основа адаптивних методів кінцевих елементів .

— Крістіан Класон
джерело

Ця відповідь саме те, що мені потрібно, велике спасибі.

— Ан-Тхі DINH