Роль числового потоку в DG-FEM

13

Я вивчаю теорію, що стоїть за методами DG-FEM, використовуючи книгу Хестхавена / Уорбуртона, і мене трохи бентежить роль "числового потоку". Прошу вибачення, якщо це основне питання, але я подивився і не знайшов на нього задовільної відповіді.

Розглянемо лінійне рівняння скалярної хвилі: де лінійний потік задається як.

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

Як представлено в книзі Гестхейвена, для кожного елемента ми закінчуємо рівнянь, по одному для кожної базової функції, примушуючи, що залишок слабко зникає: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

Чудово. Таким чином, ми проходимо інтеграцію по частинах один раз, щоб дійти до "слабкої форми" (1) і інтегруємо по частинах двічі, щоб отримати "сильну форму" (2). Я прийму своєрідне перекручування Гестхавена, але легко узагальнену інтегральну форму поверхні в 1D:

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

Чому ми обираємо числовий потік? Чому ми не використовуємо значення на межі в (1), а не використовуємо флюс? Так, це правда, що значення цієї величини може бути багатозначно визначено по елементах, але кожне рівняння становить лише понад 1 елемент , так чому це має значення? $au_h^k$ $D^k$

Крім того, граничний додаток другої інтеграції за частинами явно дає другий вдруге в (2), що для мене немає сенсу. Ми робимо ту саму операцію! Чому б два граничні умови просто не скасували, зробивши (2) марними? Як ми внесли нову інформацію? $au_h^k$

Очевидно, що я пропускаю щось вирішальне для методу, і я хотів би це виправити. Я зробив декілька реальних і функціональних аналізів, тому, якщо є більш теоретична відповідь щодо рецептури, я хотів би знати!

finite-element discontinuous-galerkin

— користувач3482876
джерело

6

Однією з причин ви вибираєте числовий потік, щоб забезпечити збереження

u

$u$ . Якби потік на межі не був однаковим для кожного елемента, який розділяє межу, кількість що витікає з одного елемента, була б іншою, ніж величина, що надходить у сусідній елемент. Це, як правило, небажано, оскільки ви моделюєте консервативне рівняння транспорту.

u

$u$

— Тайлер Олсен

8

Що стосується коментарів Tylers, але IMO ще важливіше: потік також вводить зв'язок між різними підпроблемами. Інакше не могло бути поширення інформації в дискретному розумінні.

— Крістіан Валуга

3

Числовий потік вибирається для того, щоб інформація в задачі рухалася в напрямку характерних кривих рівняння (висхідної). Як зазначено в коментарях, числовий потік необхідний для того, щоб з'єднати підпрограми, визначені для кожного елемента.

Один із способів отримати інтуїцію щодо ролі числового потоку - розглянути наступний простий приклад.

Розглянемо рівняння скалярної адвекції (де для простоти $a=1$ )

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$ де область задана

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$ . Оскільки це гіперболічне рівняння, а інформація поширюється зліва направо, нам потрібно застосувати граничну умову при

x = 0

$x = 0$ (але не при

x = 1

$x = 1$ ). Для конкретності припустимо, що ми виконуємо умову Діріхле

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$ для деяких заданих даних

g_{D}

$g_D$ .

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$ в граничних інтегралах.

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

Дивлячись на речі таким чином, ми можемо розглядати числові функції потоку як слабке виконання граничних умов для кожного елемента, необхідних для сполучення рівнянь таким чином, що поважає характерну структуру рівнянь.

Для рівнянь, складніших за адвекцію постійного коефіцієнта, інформація може не поширюватися завжди в одному напрямку, і тому числовий потік повинен визначатися шляхом вирішення (або наближення рішення до) задачі Рімана на інтерфейсі. Це обговорюється для лінійних задач у розділі 2.4 книги Гестхейвена.

— Буде П.
джерело

1

Дуже вільно кажучи, є дві речі, які потребують більшості методів дискретизації для того, щоб наблизитись до фактичного рішення Вашого PDE при збільшенні якості наближення, незалежно від того, використовуєте Ви чи ні:

$u$ задовольняє PDE, то вона також задовольняє вашу слабку формулювання)
Стабільність (невеликі зміни даних призводять до невеликих змін у відповіді)

Перші кроки виведення DG, де ви інтегруєтесь частинами на кожен елемент сітки, зберігається (1), оскільки ви починаєте з PDE і застосовуєте лише юридичні операції звідти.

Це вам не дає (2). Ви можете переконатись у цьому самі, спробувавши зібрати матрицю частково сформульованої слабкої форми ГД та переглянувши її власні значення - для проблеми, залежної від часу, ми хочемо, щоб вони були всі в лівій половинній площині, але без належного числового потоку вони будуть скрізь. Це призводить до рішення, яке вибухає експоненціально в часі, навіть якщо фізична проблема цього не робить.

$u$

Хитрість полягає в тому, щоб комбінувати стрибки та середні показники та комбінувати їх таким чином, щоб ваша схема все ще була послідовною, але й стабільною. Після цього теорема конвергенції зазвичай виявляється.

Це основи, але ви також можете часто вводити додаткову фізику в числовий потік, щоб він не просто відповідав цим математичним вимогам, але і добре грав із принципами збереження.

— Рід.Атчесон
джерело

0

Коли ви вибираєте тестову функцію, рівну пробній функції в методі DG, ви створюєте проблему оптимізації. Тобто у вас є метод Галеркіна, а не метод Петрова-Галеркіна. Ви шукаєте часові похідні амплітуд пробної функції, які мінімізують елемент, залишковий у нормі L2, і ви робите це мімімімізація, припускаючи задану функцію потоку при припливі.

— Філіп Ро
джерело