Чи існує чисельний алгоритм пошуку асимптотичного нахилу?

$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$і т. д. Але я не знаю, що таке функціональна форма для , якщо вона навіть має таку, яку можна описати елементарними функціями.$f(x)$

Моя мета - отримати найкращу можливу оцінку асимптотичного схилу . Очевидним неочищеним методом є виділення останніх кількох точок даних та проведення лінійної регресії, але, звичайно, це буде неточним, якщо не стане «досить плоским» в межах для якого я маю дані. Очевидним менш грубим методом є припустити, що (або якась інша особлива функціональна форма) і підходить до цього, використовуючи всі дані, але прості функції, які я намагався, як або не зовсім відповідають даним на нижньому де$a$$f(x)$$x$$f(x) \approx \exp(-x)$$\exp(-x)$$\dfrac1{x}$$x$$f(x)$великий. Чи існує відомий алгоритм визначення асимптотичного нахилу, який би зробив краще, або який міг би забезпечити значення для схилу разом з довірчим інтервалом, враховуючи моє незнання того, як саме дані підходять до асимптотики?

Таке завдання, як правило, часто зустрічається в моїй роботі з різними наборами даних, тому мене в основному цікавлять загальні рішення, але за запитом я посилаюсь на конкретний набір даних, який викликав це питання. Як описано в коментарях, алгоритм Wynn дає значення, яке, наскільки я можу сказати, дещо вимкнене. Ось сюжет:$\epsilon$

(Схоже, існує невелика крива вниз при високих значеннях x, але теоретична модель цих даних передбачає, що вона повинна бути асимптотично лінійною.)

Це досить брутальний алгоритм, але я б застосував таку процедуру для грубої оцінки: якщо, як ви говорите, передбачуване яке представляє ваш ( x i , y i ) , вже майже лінійне, оскільки x збільшується, що Я б зробив, щоб взяти відмінності y i + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$ , а потім використати алгоритм екстраполяції на зразокперетворення Шенксдля оцінки межі відмінностей. Результат, сподіваємось, хороша оцінка цього асимптотичного схилу.$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

Далі йде демонстрація Mathematica . Вінни алгоритм є зручною реалізацією перетворення гомілок, він побудований в якості опції (прихованої) . Спробуємо процедуру на функції$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

Я також можу показати, наскільки простий алгоритм:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Ця реалізація адаптована з статті Венігера .