Як чисельно обчислити залишки?

Мені потрібно обчислити наступний інтеграл: де - матриця (одна кінетична частинка і потенційна енергія, виражена в основі), - матриця, яка залежить від E (одночастинка багато- функція тіла Гріна) та інтегральний контур - лівий півколо. Інтеграл f (E) має полюси на від'ємній реальній осі, і це дорого оцінити. Який найефективніший спосіб обчислити такий інтеграл?

Ось моє дослідження поки що:

1) Я використовую інтеграцію Гаусса, мій шлях інтеграції - прямокутник. Я зафіксував лівий і правий бік (тобто ширину) і грав з висотою (вище і нижче реальної осі) таким чином, що для заданого порядку інтеграції я отримую найвищу точність. Наприклад, для порядку 20, якщо висота занадто велика, точність знижується (очевидно), але якщо вона занадто мала, вона також знижується (моя теорія полягає в тому, що їй потрібно все більше та більше точок навколо полюсів, оскільки висота йде на 0). Я влаштувався з оптимальною висотою 0,5 для своєї функції.

2) Потім я встановив праву частину прямокутника на E0, як правило, E0 = 0, але це може бути E0 = -0.2 або щось подібне.

3) Я починаю рухати ліву частину прямокутника ліворуч і на кожному кроці роблю конвергенцію порядку, щоб переконатися, що мій інтеграл повністю зближений для кожного прямокутника. Збільшуючи ширину, я зрештою отримую збільшене значення в межі нескінченного лівого півкола.

Розрахунки дійсно повільні, а також не дуже точні для великих ширин. Одне вдосконалення - це просто розділити довгу ширину на "елементи" та використовувати інтеграцію Гаусса на кожен елемент (як і в FE).

Іншим варіантом було б об'єднати невелике коло навколо кожного полюса і підсумувати його. Проблеми:

а) Як чисельно знайти полюси функції ? Він повинен бути надійним. Я знаю єдине, що вони знаходяться на негативній реальній осі. Для деяких з них (але не всіх) я також знаю досить непогану початкову здогадку. Чи існує метод, який працює для будь-якої аналітичної функції ? Або це залежить від фактичної форми ?$f(E)$$f(E)$$f(E)$

б) Як тільки ми дізнаємося полюси, яка числова схема найкраща для інтеграції малого кола навколо неї? Чи слід використовувати інтерес Гаусса по колу? Або я повинен використовувати якийсь рівномірний розподіл балів?

Іншим варіантом може бути те, що коли я знаю полюси завдяки a), може бути якийсь напіваналітичний спосіб отримати залишки без необхідності складної інтеграції. Але поки я радий просто оптимізувати інтеграцію контуру.

$p(x)$$q(x)$

$x$$f(x)$ $q(x)$

Раціональна інтерполяція / наближення може бути складним, але я нещодавно був співавтором статті про стабільний алгоритм для їх обчислення за допомогою SVD. У статті міститься код Matlab, що реалізує алгоритм, і більш широка його версія доступна як функція ratinterpв проекті Chebfun , я є одним із розробників.

Для вашого другого питання цей документ може бути корисним.