Як я можу наблизити неправильний інтеграл?

13

У мене функція така, що скінченна, і я хочу наблизити цей інтеграл. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

Мені знайомі правила квадратури та монте-карло-наближення інтегралів, але я бачу деякі труднощі з їх реалізацією у нескінченній області. Як йдеться про випадок «Монте-Карло», як можна взяти вибірку нескінченного регіону (особливо якщо регіони, які вносять більш значний внесок у інтеграл, невідомі)? Як у квадратурному випадку знайти оптимальні точки? Чи слід просто зафіксувати довільно велику область, зосереджену навколо походження, і застосувати правила розрідженої квадратури? Як я можу йти про наближення цього інтеграла?

monte-carlo quadrature

— Пол
джерело

20

В одному вимірі ви можете зіставити свій нескінченний інтервал до кінцевого інтервалу, використовуючи інтеграцію за допомогою підстановки, наприклад

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Де - деяка функція, яка відходить до нескінченності в деякому кінцевому діапазоні, наприклад : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Потім ви можете використовувати будь-який звичайний числовий порядок квадратури для модифікованого кінцевого інтеграла.

Заміна кількох змінних трохи складніше, але досить добре описано тут .

— Педро
джерело

Це дуже цікаво ... Я ніколи навіть не розглядав можливість заміни! Але чи впливає вибір функції на точність наближення?

u (t)

$u(t)$

— Пол

@Paul: Так, безумовно! Функція повинна бути максимально гладкою, щоб зберегти якомога більш гладким, таким чином дозволяючи більш точно інтегрувати.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Педро

Це правда, але що я мав на увазі, швидкість, з якою u (t) сходиться до нескінченності? Це також впливає на точність?

— Пол

1

@Paul: Я не знаю, чи правильно я розумію ваше запитання, але функція повинна закінчуватися в нескінченності в ту чи іншу точку. Якщо це потребує свого часу, а потім різко зростає, то це введе деякі великі градієнти в , що ускладнить інтеграцію і, таким чином, може вплинути на точність.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Педро

1

Ваша похідна для дотичної була неправильною; Я полагодив це.

— JM

11

Стандартний спосіб зробити це - витягнути з виразу для експоненціальний збірник, перетворити його на , а потім використовувати гауссові правила квадратури (або Гаусса Кроронда) з цим як вагу. Якщо рівне, це зазвичай дає чудові результати. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

У ті ж самі роботи з вагою , і відповідні кубатурні формули можна знайти, наприклад, у книзі Енгельса, числовій квадратурі та кубатурі. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Онлайн-формули розміщені на веб-сторінці http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Арнольд Ноймаєр
джерело

2

Це добре працює, якщо ваш інтеграл є приблизно exp (-x ^ 2). Якщо ваш інтегрант приблизно нормальний, але в центрі від походження, такий підхід може працювати погано.

— Джон Д. Кук

1

@ JohnD.Cook: Ось чому я написав "" витягнути експоненціальний збірник, перетворіть його на ", що зазвичай включає лінійне перетворення, поєднуючи переклад, переміщаючи центр до початку, і обертання, і масштабування, щоб зробити рівні рівні приблизно кулястими. Сама функція може бути досить далекою від нормальної.

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

— Арнольд Ноймаєр

7

Для одновимірної квадратури ви можете перевірити книгу на Quadpack (золотий старий, але все ще дуже актуальний для одновимірної квадратури) та методи, які використовуються в алгоритмі QAGI, автоматичному інтеграторі для нескінченного діапазону.

Інша методика - формула квадратури з подвійною експоненцією, чудово реалізованою Оурою за нескінченний інтервал .

Для кубатури ви можете ознайомитися з Енциклопедією кубатурних формул Рональда Кулса.

— GertVdE
джерело

2

Зауважимо, що двоекспоненціальна квадратура є по суті методом заміщення; ви здійснюєте підстановку, яка перетворює ваш інтеграл нескінченного діапазону в інший інтеграл нескінченного діапазону, швидкість занепаду якого - ну, подвійний показник ...

— JM

1

@JM Правильно. І ви робите це для того, щоб найкраще використати формулу підсумовування Ейлера-Маклауріна для правила трапеції, як і перетворення IMT і перетворення TANH. Приємний документ з історії DE, написаний одним із батьків-засновників, можна знайти тут

— GertVdE

6

Якщо ви пам’ятаєте, як працювала квадратура, то ви також будете знати один із способів наближення нескінченних інтегралів. А саме: для квадратури ви наближаєте функцію яку ви хочете інтегрувати за допомогою чогось подібного, скажімо, поліном (або кусковий многочлен), для якого ви можете записати інтеграл аналітично. Ви отримуєте від за допомогою інтерполяції в точках інтерполяції - які потім будуть вашими квадратурними точками. $f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

Для нескінченних інтегралів один підхід використовує саме таке мислення. Наприклад, ви можете спробувати наблизити у всьому рядку за допомогою більш простої функції, наприклад, з поліномом який інтерполює у ряді точок. Потім існують прості формули для обчислення інтеграла . Вибір точок інтерполяції відбувається за аналогічною логікою, як це робиться для звичайного квадратурного виведення. $f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— Вольфганг Бангерт
джерело

4

Якщо ви хочете використовувати інтеграцію Монте-Карло, ви можете почати з використання вибірки важливості з пробовідбірником, що приблизно наближає ваш інтегранд. Чим краще ваш пробовідбірник відповідає вашому інтеграту, тим менше розбіжність у ваших інтегральних оцінках. Не має значення, ніж ваш домен нескінченний, поки ваш вибірник має той самий домен.

— Джон Д. Кук
джерело