Чи існує ефективний алгоритм для матрично-тривалих дробів?

Припустимо, у мене є матричне рівняння, рекурсивно визначене як

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

Тоді рівняння для A [1] виглядає подібним до тривалої дроби, для якої існують деякі високоефективні методи, які уникають втомного перерахунку (див. "Числові рецепти" для деяких прикладів).

Однак мені цікаво, чи існують аналогічні методи, які дозволяють коефіцієнтам b [n] та a [n] бути матрицями, з єдиним обмеженням, що b [n] A [n + 1] є квадратною матрицею, щоб матриця

1 - b[n]A[n+1]

насправді незворотній.

algorithms

— Lagerbaer
джерело

Це питання, яке ви задали в math.SE за кілька місяців до цього, ні? Є чи квадратної або прямокутної форми?

A

$A$

— JM

Я пам'ятаю, що хтось у коментарях на math.SE запропонував мені запитати це, коли бета-версія буде онлайн :) У моєму спеціальному випадку A прямокутний. Рекурсивні рівняння відповідають ієрархічному набору рівнянь, а кількість величин зростає з

. У моєму випадку розмірність A [n] дорівнює nx (n-1)

n

$n$

— Lagerbaer

Просто цікаво, для чого це додаток, яке ви хочете використовувати?

— Hjulle

Дуже коротко, ідентичність з допомогою Дайсона для конкретного гамильтониана формує функцію Гріна , що можна помітити з певним індексом

. Збір усіх функцій з одним і тим же індексом у вектор

дозволяє мені записати

використовуючи тотожність Дайсона та відповідне наближення. Використовуючи відрізок, так що

для всіх

дозволяє мені знайти матриці

так, що

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

і ці матриці задаються моїм рівнянням стилю продовження дробу. Ця методика може, наприклад, обчислити гратчасті функції Гріна для моделей з щільним зв'язуванням.

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— Lagerbaer

Це не моє поле, але я був деякий час на семінарі, де було представлено щось, що стосується цієї проблеми. [Тут] [1] - єдиний слід, який я міг би знайти в Інтернеті. Я справді не знаю, чи допомагає це. [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— користувач189035

Відповіді:

Наступні два методи наведені у функціях матриць: теорія та обчислення Ніколаса Хігхема, на сторінці 81. Ці формули оцінюють

де- квадратна матриця.

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

Спосіб зверху вниз:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

для j = 1: 2м

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

кінець

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

Спосіб знизу:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

для j = 2m − 1: −1: 1

Розв’яжіть для . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

кінець

$r_m=b_0I+Y_1$

Питання задає оцінку більш загальної форми

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

Це можна оцінити простим узагальненням формул, наведених вище; наприклад, стає методом знизу вгору

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

для j = 2m − 1: −1: 1

Розв’яжіть для . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

кінець

. $r_m=b_0I+Y_1$

— Девід Кетчесон
джерело

Це виглядає дуже цікаво. Я побачу, чи зможу я застосувати його до моєї конкретної проблеми, але вона відповідає на питання, оскільки мій b [n] * A [n + 1] є квадратною матрицею

— Lagerbaer

Ах, але я щойно помітив, що матриця

однакова скрізь у вашому рішенні, але моя не обов'язково.

X

$X$

— Lagerbaer

Гаразд, я це узагальнив.

— Девід Кетчесон

Я знаю, що ця відповідь робить багато припущень, але вона принаймні узагальнює ваш алгоритм:

Припустимо, що , і матриця висіву, , всі утворюють сімейство комутуючих нормальних матриць, де власне значення розкладу $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ априорно відомі і , скажімо, , , і $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ , де - унітарна і , , і - комплексні значення діагональних матриць. $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

Як тільки ми сказали розкладання, за допомогою індукції,

V_{н} = (Я - Б_{н} V_{н + 1})^{- 1} А_{н} = (Я - U Δ_{н} U^{'} U Λ_{н + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{н} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

які можна переставити у форму

V_{н} = U (Я - Δ_{н} Λ_{н + 1})^{- 1} Ω_{н} U^{'} \equiv U Λ_{н} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— Джек Поульсон
джерело