Чисельно стійкий спосіб обчислення кутів між векторами

При застосуванні класичної формули кута між двома векторами:

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

виявляється, що при дуже малих / гострих кутах втрачається точність, і результат не є точним. Як пояснено у цій відповіді про переповнення стека , одним із варіантів є використання арктангенту:

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

І це справді дає кращі результати. Однак мені цікаво, чи це дало б погані результати для кутів, дуже близьких до $\pi / 2$ . Це так? Якщо так, чи існує якась формула для точного обчислення кутів, не перевіряючи на допуск всередині ifгілки?

algorithms precision numerical-limitations

— astrojuanlu
джерело

Це залежатиме від реалізації функції зворотного дотику двох параметрів. Повільні, стабільні версії умовно перемикаються між роботою з x / y та y / x, щоб підтримувати точність, тоді як швидкі просто приклеюють речі у потрібний квадрант і, таким чином, не є більш точним, ніж версія одного параметра.

— оригімбо

Вам слід визначити "втрата точності": припустимо, правильною відповіддю є

α

$\alpha$ і ви отримаєте замість

α + Δ

$\alpha + \Delta$ . Вам достатньо

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$ або

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$ ?

— Стефано М

У цьому випадку правильною відповіддю було і я отримав , обидва .

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— astrojuanlu

Відповіді:

( Я вже перевіряв цей підхід і пам'ятаю, що він працював правильно, але я не перевіряв його спеціально для цього питання. )

Наскільки я можу сказати, обидва і може постраждати від катастрофічного скасування, якщо вони майже паралельні / перпендикулярні - atan2 не може дати точну точність, якщо будь-який вхід вимкнено. $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

Почніть з переформулювання задачі як знаходження кута трикутника зі сторонами довжини,і(всі вони точно обчислені в арифметиці з плаваючою точкою). Існує добре відомий варіант формули Герона завдяки Кахану ( Площа прорахунку та кути голкоподібного трикутника ), що дозволяє обчислити площу та кут (між і ) трикутника, визначеними його сторонами, і робити це стабільно чисельно. Оскільки зменшення цієї підпроблеми також точне, такий підхід повинен працювати для довільних даних. $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

Цитуючи цей документ (див. П. 3), припускаючи, що , Усі круглі дужки тут розміщуються обережно, і вони мають значення; якщо ви знайдете квадратний корінь від’ємного числа, довжина вхідної сторони не є бічними довжинами трикутника. $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

У статті Кахана є пояснення того, як це працює, включаючи приклади значень, для яких інші формули виходять з ладу. Ваша перша формула для є на сторінці 4. $\alpha$ $C''$

Основна причина, за якою я пропоную формулу Герона Кахана, полягає в тому, що це робить дуже приємним примітивом - багато потенційно складних запитань з площинної геометрії можна звести до пошуку площі / кута довільного трикутника, тож якщо ви можете звести свою проблему до цього, є приємна стабільна формула для цього, і немає необхідності придумувати щось самостійно.

Змінити Після коментаря Стефано, я зробив графік відносної помилки для , ( код ). Два рядки є відносними помилками для та , йдуть уздовж горизонтальної осі. Здається, що це працює. $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— Кирило
джерело

Дякуємо за посилання та відповідь! На жаль, друга формула, яку я написав, не міститься в статті. З іншого боку, цей метод може отримати трохи складний характер, оскільки вимагає проекції в 2D.

— astrojuanlu

@astrojuanlu Тут немає проекції на 2d: якими б не були два 3d вектори, вони визначають один (плоский) трикутник між ними - потрібно лише знати його бічні довжини.

— Кирило

Ви маєте рацію, мій коментар не має сенсу. Я думав про координати замість довжин. Знову дякую!

— astrojuanlu

@astrojuanlu Ще одне, що я хочу зазначити: схоже, існує офіційний доказ того, що формула області є точною у тому, як обчислити площу трикутника: формальне повторне відвідування , Сільві Болдо , використовуючи Flocq.

— Кирило

Відмінна відповідь, але я заперечую, що ви завжди можете точно обчислити в арифметиці з плаваючою комою. Насправді, якщо то в обчисленні компонентів трапляються катастрофічні скасування .

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— Стефано М

Ефективна відповідь на це питання не надто дивно, але в іншій замітці Велвеля Кахана :

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

де я використовую як кут, зроблений з горизонтальною віссю. (Можливо, вам доведеться перегорнути порядок аргументів на деяких мовах.) $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

(Я дав Mathematica демонстрацію формули Каган в тут .)

— JM
джерело

Ви маєте на увазі ?

\arctan 2

$\arctan2$

— astrojuanlu

Я звик просто зображати двоаргументний арктангент як , так. Такою мовою, як FORTRAN, був би еквівалент .

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM