Які критерії вибирати між скінченними різницями та кінцевими елементами

Я звик думати про кінцеві відмінності як про особливий випадок скінченних елементів на дуже обмеженій сітці. Отже, які умови щодо вибору методу скінченної різниці (FDM) та методу кінцевих елементів (FEM) як числового методу?

Що стосується методу скінченних різниць (FDM), можна вважати, що вони концептуально простіші та простіші у застосуванні, ніж метод кінцевих елементів (FEM). FEM має перевагу бути дуже гнучким, наприклад, сітки можуть бути дуже неоднорідними, а домени можуть мати довільну форму.

Єдиний приклад, з якого я знаю, де FDM виявився кращим за FEM, - це у Celia, Bouloutas, Zarba , де користь обумовлена ​​методом FD з використанням різної дискретизації часової похідної, яка, однак, може бути виправлена ​​методом кінцевих елементів .

Можна записати найбільш специфічні методи кінцевих різниць як методи кінцевих елементів Петрова-Галеркіна з певним вибором локальної реконструкції та квадратури, а також більшість методів кінцевих елементів також може бути показано алгебраїчно еквівалентним деякому методу кінцевих різниць. Тому нам слід вибрати метод, заснований на тому, яку структуру аналізу ми хочемо використовувати, яку термінологію нам подобається, яку систему розширюваності нам подобається та як ми хотіли б структурувати програмне забезпечення. Наступні узагальнення справедливі у переважній більшості варіантів практичного використання, але багато пунктів можна обійти.

Кінцева різниця

Плюси

• ефективна реалізація без квадратури
• незалежність співвідношення сторін та збереження місцевості для певних схем (наприклад, MAC для стисливого потоку)
• надійні нелінійні методи транспорту (наприклад, ENO / WENO)
• M-матриця для деяких проблем
• дискретний принцип максимуму для деяких проблем (наприклад, кінцеві міметичні відмінності)
• діагональна (як правило, тотожність) матриця мас
• недорогий вузловий залишковий дозвіл на ефективну нелінійну багаторешітку (FAS)
• клітинні плавці Vanka дають ефективні плавні без матриць для стискання потоку

Мінуси

• важче реалізувати "фізику"
• поетапні сітки іноді бувають досить технічними
• Вищий за другий порядок на неструктурованих сітках важко
• немає ортогональності Галеркіна, тому конвергенцію довести важче
• не метод Галєркіна, тому дискретизація та суміжність не змінюються (стосується оптимізації та зворотних проблем)
• задачі суперечливих континуумів часто дають несиметричні матриці
• рішення визначається лише в точці, тому реконструкція у довільних місцях не визначена однозначно
• граничні умови, як правило, є складними у здійсненні
• розривні коефіцієнти зазвичай роблять методи першого порядку
• трафарет росте, якщо фізика включає "перехресні терміни"

Кінцевий елемент

Плюси

• Ортогональність Галеркіна (дискретний розв'язок примусових задач знаходиться в межах константи найкращого рішення в просторі)
• проста геометрична гнучкість
• переривчастий Галеркін пропонує надійний алгоритм транспорту, довільний порядок на неструктурованих сітках
• нерівність ентропійної ентропії, що гарантує стабільність залежить від сітки, розмірності, порядку точності та наявності розривних розчинів, не потребуючи нелінійних обмежувачів$L^2$
• легко реалізувати граничні умови
• може вибрати оператор збереження, вибравши пробний простір
• дискретизація та суміжні сполучення (для методів Галеркіна)
• елегантний фундамент у функціональному аналізі
• при високому порядку місцеві ядра можуть використовувати тензорну структуру продукту, якої немає у FD
• Квадратура Лобата може зробити енергозберігаючі методи (якщо припустити симплектичний інтегратор часу)
• висока точність замовлення навіть при переривчастих коефіцієнтах, якщо ви можете вирівняти межі
• переривчасті коефіцієнти всередині елементів можуть бути розміщені за допомогою XFEM
• простота в обробці декількох додаткових умов

Мінуси

• багато елементів мають проблеми при високому співвідношенні сторін
• безперервний FEM має проблеми з транспортом (SUPG дифузійний і коливальний)
• DG зазвичай має більше ступеня свободи для однакової точності (хоча HDG набагато краще)
• безперервна ФЕМ не створює дешевих вузлових проблем, тому нелінійні плавніші мають значно бідніші константи
• зазвичай більше ненулів у зібраних матрицях
• доводиться вибирати між послідовною матрицею маси (деякими приємними властивостями, але має повну обернену, таким чином, вимагаючи неявного вирішення за кожним кроком) та матричною масою.

Це питання може бути занадто широким, щоб мати вагому відповідь. Більшість людей, які відповідають, будуть знайомі лише з деяким підмножиною всіх видів дискримінацій FD та FE, які можуть бути використані. Зауважте, що і FD, і FE

• може бути реалізований на структурованих або неструктурованих сітках (див. цей документ лише для одного прикладу методу FD на неструктурованій сітці)
• може бути розширено до довільно високого порядку точності (багато в чому!)
• може використовуватися для дискретизації в просторі та / або в часі , можливо, у поєднанні
• використовувати або локальні, або глобальні базисні функції (останні призводять до спектральних методів як FD, так і FE)
• може базуватися на безперервному або переривчастому просторі функцій
• можуть бути просторово явними або неявними
• може бути тимчасово явним або неявним

Ви отримуєте ідею. Звичайно, у певній дисципліні методи FD та FE, які люди зазвичай застосовують та використовують, можуть мати дуже різні особливості. Але це, як правило, не пов’язано з будь-якими притаманними обмеженнями двох підходів дискретизації.

Щодо схем FD довільно високого порядку: коефіцієнти FD-схем високого порядку можуть бути автоматично сформовані для будь-якого замовлення; див., наприклад, книгу ЛеВека . Спектральні методи колокації, що є методами FD, будуть сходитися швидше, ніж будь-яка потужність міжряддя; див., наприклад, книгу Трефетена .

Переваги кінцевих елементів (ЗП):

• варіаційний метод (наприклад, енергія завжди падає зі збільшенням "p" для рівняння Шредінгера, що не відповідає правилам FD)
• точний при високих замовленнях (p = більше 50)
• Після впровадження легко зробити систематичну конвергенцію як в "p", так і в "h" (на відміну від спеціальних схем FD для кожного замовлення)

Переваги кінцевих різниць (FD):

• простіший у здійсненні для нижчих замовлень
• можливо швидше, ніж FE для нижчої точності

Іноді люди кажуть "кінцеві відмінності", щоб означати інтегратор для ODE, як Рунге-Кутта або метод Адамса. У цьому випадку є ще одна перевага FD:

• можливо безпосередньо вирішувати нелінійні ODE

тоді як ІП потребують певної нелінійної ітерації, як метод Ньютона.

Кілька приємних відповідей, які вже заявляли про плюси методів кінцевих елементів у гнучкості та потужності, тут я надам ще одну перевагу FEM, з точки зору простору Соболева та диференціальної геометрії, в тому, що можливість кінцевого простору елементів наслідує умову фізичної безперервності Соболєві простори, де лежить справжнє рішення.

Наприклад, лицьовий елемент Равіарт-Томас для пружності площини та змішаний метод дифузії; Крайовий елемент Nédélec для обчислювальної електромагнітики.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

Діапазон оператора - це нульовий простір наступного оператора, і щодо цього є багато приємних властивостей, якби ми могли побудувати кінцевий простір елементів для успадкування цієї точної послідовності де Рема, тоді метод Галеркина, заснований на цьому кінцевому просторі елементів, буде бути стабільним і сходиться до реального рішення. І ми могли б отримати властивість стабільності та наближення оператора інтерполяції просто за допомогою коммутуючої діаграми з послідовності де Рема, плюс ми могли б побудувати післяорієнтовну оцінку помилок та адаптивну процедуру уточнення сітки на основі цієї послідовності.

Детальніше про це дивіться у статті Дугласа Арнольда в Acta Numerica: " Обчислення зовнішніх елементів кінцевих елементів, гомологічні методи та застосування " та слайд, який коротко представляє ідею

Важливо розрізняти просторову та часову схеми.

Кінцеві елементи часто використовують кінцеві відмінності для інтеграції тимчасових термінів (наприклад, явний Ойлер, неявний, Кранк-Ніколсон або Рунга Кутта для перехідної дифузії) та кінцеві елементи для просторової дискретизації.

Кінцеві елементи добре піддаються неправильним сіткам. Вони можуть базуватися на варіативних принципах, але вони, як правило, узагальнені за допомогою методу зважених залишків. Розробити бібліотеки елементів, які використовують різні порядки поліномів, легко застосовувати такі обмеження, як нестислимість, за допомогою множників Lagrange.

Обидві рецептури є засобом для досягнення мети: вираження диференціального рівняння з точки зору систем рівнянь та лінійної алгебри.

Заяви про швидкість одного методу над іншим потрібно кваліфікувати, описуючи алгоритм. Наприклад, кастинг механічних задач як гіперболічної динаміки може давати більш швидкі результати в деяких випадках, оскільки вони замінюють матричне розкладання на множення та додавання.

Я визнаю, що я знаю набагато більше про методи кінцевих елементів, ніж я маю кінцеві відмінності. FEM доступний у комерційних упаковках і широко застосовується в промисловості та наукових колах для вирішення проблем у твердій механіці та тепловіддачі. Я вважаю, що в обчислювальній динаміці рідини використовуються кінцеві різниці або підходи до обмеженого обсягу.