Розпад власного значення суми: A (симетричний) + D (діагональ)

Припустимо, - справжня симетрична матриця, і дано її власнезначне розкладання Неважко зрозуміти, що відбувається з власними значеннями суми де - скалярна константа (див. Це питання ). Чи можемо ми зробити якийсь висновок у загальному випадку де - довільна діагональна матриця? Дякую. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

З повагою,

Іван

linear-algebra

— Іван
джерело

Ви можете отримати кращі відповіді, якщо вкажете, який тип висновків вас цікавить.

— Девід Кетчесон,

@DavidKetcheson, так, ви абсолютно праві. Власне, я намагаюся знайти ефективний спосіб обчислення послідовності матричних експонентів вигляду

де

є фіксованим, а

- діагональними матрицями. Я сподівався здійснити розклад власного значення

лише один раз, а потім якось використати його для обліку корекції, введеної діагональними матрицями. На жаль,

взагалі не комутуються, тому

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Буду вдячний, якщо ви можете поділитися будь-якими ідеями з цього приводу. Дякую.

— Іван

Це пов’язано з scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Джеффрі Ірвінг

Відповіді:

Можна сказати дуже мало, для спільнот , таких як , що власні значення змінюються безперервно з записів , за винятком . $D$

За символічним обчисленням у випадку 2 на 2 ви бачите, що нічого сильного не можна очікувати.

— Арнольд Ноймаєр
джерело

Дякую за відповідь, я знав, що почую щось подібне. Чи можу я попросити вас поглянути на мій коментар вище.

— Іван

складність обчислення експозиції матриці та обчислення спектральної факторизації приблизно однакова. Так ні, простого рішення немає. Що ви можете зробити, однак, якщо ваші діагональні матриці лежать у низькому підпросторі, щоб обчислити відповідну частину експоненції (або, що ви хочете, щоб обчислити з неї) для ряду конкретних варіантів, добре розподілених у вашому просторі бажаних значень, а потім використовуйте алгоритм інтерполяції для апроксимації всіх інших.

— Арнольд Ноймайер

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Мінг Гу та Стенлі К. Ейзенстат вивчали цю проблему раніше, дивіться посилання: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Ця стаття вирішує проблему пермутації першої категорії, яка не може вирішити цю проблему. Якщо хтось зіткнеться з проблемою перестановки першого рангу, це допомагає.

— skyuuka
джерело

Додавання діагональної матриці - це не виправлення першої позиції, тому я не впевнений, як цей документ допомагає в цьому випадку.

— Крістіан Класон

@ChristianClason: Правильно! Я просто усвідомлюю це. Дякуємо, що вказали на це!

— skyuuka