Приклад безперервної функції, яку важко наблизити до многочленів

Для навчальних цілей мені знадобиться безперервна функція однієї змінної, яку "важко" наблизити до поліномів, тобто для ряду потужностей потрібні дуже високі потужності, щоб "добре" вписати цю функцію. Я маю намір показати своїм студентам "межі" того, що можна досягти за допомогою силових рядів.

Я думав про те, щоб придумати щось "галасливе", але замість того, щоб розгорнути своє, мені просто цікаво, чи існує якась стандартна "складна функція", яку люди використовують для тестування алгоритмів наближення / інтерполяції, дещо подібну до тих тестових функцій оптимізації, які мають численні локальні мінімуми, де наївні алгоритми легко застрягають.

Вибачте, якщо це питання недостатньо сформоване; будь ласка, помилуй не-математика.

Чому б просто не показати функцію абсолютного значення?

Наближення, наприклад, розширення Legendre-polynomial, але досить погано :

Розширення Тейлора, звичайно, тут абсолютно марно, завжди надаючи лише лінійну функцію, або завжди зменшуючись, або завжди збільшуючись (залежно від того, чи точка, яку ви розширюєте, негативна чи позитивна).

$|x|$

Наближення ускладнюється не лише функцією, яка наближається, але і тим інтервалом, в якому наближення повинно бути "гарним пристосуванням". І ви повинні визначити міру для "гарного пристосування", тобто яка максимальна (абсолютна чи відносна) помилка, яку ви бажаєте допустити?

$\exp(x)$$[0,10]$. Те саме стосується періодичних функцій. Приймати$\sin(x)$, наприклад, на проміжку $[0,2\pi]$. Дивіться фотографії нижче ...

Поліноми надзвичайно ефективні при наближенні функції [1]. Якщо у вас є принаймні ліпшицька безперервність, то наближення Чебишева будуть сходитися. Звичайно, конвергенція може бути повільною, і це ціна, яку ми платимо за справу з не плавною функцією.

Сьогодні комп'ютери набагато швидше, ніж дні, коли були написані численні книги чисельних аналізів, а розумні алгоритми ще більше збільшували швидкість, так що використання більшої кількості термінів може бути не так вже й погано, як раніше.

Такі патологічні приклади, як функція монстра Ваєрштрасса, цікаві з теоретичної точки зору, але вони не є репрезентативними для більшості реальних контекстів застосування.

Я думаю, що ми повинні бути обережними, щоб не надавати песимістичного погляду нашим студентам. Гаразд, не існує методу, який би працював на всі проблеми. Але ми можемо побудувати адаптивні методи, скажімо, навіть на основі многочленів, які можуть мати справу з такими випадками. Наприклад, Chebfun [2] може легко наблизитись$|x|$ шляхом автоматичного поділу домену на $x=0$.

Важливо навчити труднощам у наближенні до поліномів, але також важливо сказати студентам, що ми можемо будувати оцінки помилок та адаптаційні алгоритми, які можуть вирішити ці проблеми.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ має це розширення серії Maclaurin:

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

Це сходиться для $-1<x<1$, але це розходиться скрізь. Поліномічне наближення навколо$x=0$ ніколи не знайде вас ніде поблизу правильної відповіді $x=2$.

$y = sin(x)$? Періодичні функції повинні бути важкими для наближення за допомогою многочленів, якщо тільки немає можливості обмежити поліноми обмеженими інтервалами.