Що є причиною використання LAPACK

9

QR-програма LAPACK зберігає Q як відбивачі для дому. Він масштабує вектор відображення $v$ з $1/v_1$ , тому першим елементом результату стає $1$ , тому його не потрібно зберігати. І він зберігає окремо $\tau$ вектор, який містить необхідні масштабні коефіцієнти. Отже, матриця відбивача така:

H = I - τ v v^{T},

$H=I-\tau v v^T,$

де $v$ не нормалізується. Тоді як у підручниках рефлекторна матриця є

H = I - 2 v v^{T},

$H = I-2vv^T,$

де $v$ нормалізується.

Чому LAPACK масштабує $v$ з $1/v_1$ , а не нормалізувати це?

Необхідне сховище те саме (замість $\tau$ , $v_1$ має зберігатися), а потім - подати заявку $H$ можна зробити швидше, оскільки не потрібно множити $\tau$ (множення на $2$ у версії підручника можна оптимізувати, якщо замість простої нормалізації, $v$ масштабується $\sqrt 2/\|v\|$ ).

(Причина мого запитання полягає в тому, що я пишу звичайний режим QR та SVD, і я хотів би знати причину цього рішення, потрібно мені його виконувати чи ні)

linear-algebra matrix lapack

— геза
джерело

7

Це заблокований варіант Householder-QR, який керує цією конструкцією. Якщо ви подивитесь на книгу Голуба та Вана Кредита (гл. 5.2 або близько того), вони говорять про те, як k-ітерації алгоритму можуть бути заблоковані, накопичуючи окремі відбивачі у відбивачі рангової форми форми , де обидва і є "високими" матрицями розміром . Цей алгоритм спрацьовує більше, але на практиці швидший, оскільки він багатий на виклики gemm (). На жаль, він є марним у зберіганні через необхідність представляти та незалежно. $\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$

У більш пізньому документі (цитованому нижче) Ван Кредит описує більш ефективну "симетризовану" структуру даних, блоковий рефлектор форми . Тут все ще , але вимога flop / зберігання для формування була усунена шляхом введення , невеликої верхньої трикутної матриці. Хоча потреба у множенні на вносить невелику кількість додаткової роботи, це, як правило, чистий приріст, оскільки . $\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf T$ $k \times k$ $\mathbf T$ $k << n$

У межах LAPACK незаблокований алгоритм насправді є лише обмежуючим випадок блочного алгоритму, аж до вибору символів (що призводить нас до , невеликої версії трикутник). $k \rightarrow 1$ $\tau$ $1\times1$ $\mathbf T$

Цитування: Шрайбер, Роберт та Чарльз Ван Кредит. "Ефективне для зберігання представлення WY для продуктів перетворень домогосподарств." Журнал SIAM з науково-статистичних обчислень 10.1 (1989): 53-57.

— rchilton1980
джерело

Дякую за відповідь! Я не бачу, що знаходиться всього в -sized . У цитованій роботі в алгоритмі 5 є , а - -2. Отже, це закінчується як версія підручника, а не як версія LAPACK. Я щось сумую?

τ

$\tau$

1 \times 1

$1 \times 1$

T

$\mathbf T$

Y

$\mathbf Y$

v

$v$

T

$\mathbf T$

— Геза

2

Вам не потрібно зберігати , ви можете повторно обчислити його з решти вектора. (Ви можете перерахувати з інших записів також у нормалізованій версії, але це очевидно нестабільне обчислення через ці віднімання.) $\tau$ $v_1$

Насправді ви можете використовувати нижню трикутну частину для зберігання , щоб факторизація була повністю обчислена на місці. Lapack піклується про багато місцевих версій алгоритмів. $R$ $v_2,...v_n$

— Федеріко Полоні
джерело

1

Моя пропозиція заснована на документації для Intel MKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrf . Це виглядає як значення на діагоналі виводу сховища R, тому для Q. залишився лише нижній трикутник. Це видається природним використовувати додаткове сховище для коефіцієнтів масштабування.

— VorKir
джерело