За яких обставин інтеграція Монте-Карло краща, ніж квазі-Монте-Карло?

Досить просте запитання: зробити багатовимірний інтеграл, враховуючи, що вирішили, що якийсь метод Монте-Карло є підходящим, чи є якась перевага, що звичайна інтеграція МС з використанням псевдовипадкових чисел має над квазі-Монте-Карло інтеграцією, використовуючи квазі випадкову послідовність ? Якщо так, то як би я визнав ситуації, коли ця перевага вступила б у життя? (І якщо ні, то чому хтось коли-небудь використовує просту стару інтеграцію Монте-Карло?)

Моделювання Монте-Карло є методом вибору для обчислення розсіювання електронів. Прийоми на зразок вибірки важливості іноді використовуються, тому ви можете сказати, що це не звичайний старий Монте-Карло. Але головне, мабуть, в тому, що тут моделюється притаманний стохастичний процес, тоді як ви запитуєте лише про використання Монте-Карло для інтеграції.

Оскільки ніхто інший не намагався запропонувати відповідь, дозвольте мені трохи розширити свою відповідь. Припустимо, у нас є моделювання розсіювання електронів, де обчислюється лише одне число, як коефіцієнт зворотного розсіювання. Якби ми переформулювали це як багатовимірний інтеграл, це, ймовірно, було б нескінченним розмірним інтегралом. З іншого боку, під час моделювання однієї траєкторії потрібно лише кінцеве число випадкових чисел (це число може стати досить великим, якщо врахувати вторинне генерування електронів). Якщо ми використовуємо квазі випадкову послідовність на зразок відбору проб з латинським гіперкубом, нам доведеться використовувати наближення з фіксованою кількістю розмірів і генерувати випадкове число для кожного виміру для кожної точки вибірки.

Тож я думаю, що різниця полягає в тому, чи буде обрана якась високовимірна одиниця-гіперкуб, порівняно з нескінченною розмірною хмарою ймовірностей навколо походження.

Деякі з моїх досліджень передбачають вирішення великомасштабних стохастичних часткових диференціальних рівнянь. У такому випадку традиційне наближення інтегралу інтересу до Монте-Карло занадто повільно сходить, щоб воно було доцільним у практичному сенсі ... тобто я не хочу запускати в 100 разів більше симуляцій, щоб отримати десяткову точку більшої точності до інтеграла. Натомість я, як правило, використовую інші методи, як розріджені сітки смоляка, оскільки вони забезпечують кращу точність при менших оцінках функцій. Це можливо лише тому, що я можу припустити певну ступінь плавності функції.

Доцільно припустити, що якщо ви очікуєте, що функція, яку ви інтегруєте, має певну структуру (наприклад, плавність), було б найкраще використовувати схему квазімонте Карло, яка її експлуатує. Якщо ви дійсно не можете зробити дуже багато припущень щодо функції, то Монте Карло - єдиний інструмент, з яким я можу впоратися.

Переваги традиційної інтеграції Монте-Карло по інтеграції квазі-Монте - Карло обговорюються в Kočiš і паперу Забела в тут . Вони перераховують наступні причини:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  На жаль, пов'язана теоретична невідповідність існуючих послідовностей не корисна для помірних і великих значень s. Інший варіант, чисельна оцінка зоряної невідповідності послідовності для великих s, вимагає надмірних обчислювальних зусиль, і навіть розумні числові оцінки таких розбіжностей дуже важко отримати.

  За допомогою традиційної інтеграції Монте-Карло, ми можемо вказати ціль помилки та чекати, оскільки виправлена ​​помилка легко піддається обчисленню. За допомогою QMC ми повинні вказати ряд оцінок функції та сподіватися, що помилка в нашій меті. (Зауважте, що існують методи подолання цього, як-от рандомізований квазі-Монте-Карло, де для оцінки помилки використовуються кілька оцінок квазі-Монте-Карло.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Щоб квазі-Монте-Карло переміг традиційний Монте-Карло, інтегрант повинен мати «низький ефективний вимір». Дивіться статтю Art Owen з цього приводу тут .