Абсолютне значення в лінійних обмеженнях

У мене є така проблема оптимізації, де я маю абсолютне значення у своїх обмеженнях:

Нехай та - вектори стовпців розміром кожен. Ми хотіли б вирішити наступне: $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$$n$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

Я знаю, що здійсненний простір не буде опуклим і мені, мабуть, знадобиться МІЛП для вирішення проблеми. Я шукаю найменшу кількість бінарних змінних, які мені знадобляться, та налаштування, яке б вирішило проблему.

Робота з абсолютними значеннями, як правило, проста, коли лише одна сторона нерівності має абсолютне значення (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm); однак цей вигляд здається складнішим.

Спасибі заздалегідь.

Найпростіший спосіб - додати бінарних значень , і вирішитиs i ∈ 0 , $m$$s_i \in {0,1}$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

Я думаю, що або (1) нічого суттєво швидшого не існує, або (2) є спеціальний трюк для переформулювання як опукла програма. Напевно (1).

Ви можете використовувати вирішувач для проблем, що не мають гладкої форми. Дивіться http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm