Чому в арифметиці з плаваючою комою чому числова неточність є результатом додавання невеликого терміна до різниці великих термінів?

Я читав книгу " Комп'ютерне моделювання рідин " Аллена та Тільдеслі. Починаючи з сторінки 71, автори обговорюють різні алгоритми, які використовуються для інтеграції рівнянь руху Ньютона в моделювання молекулярної динаміки (МД). Починаючи з сторінки 78, автори обговорюють алгоритм Верле, який, можливо, є алгоритмом канонічної інтеграції в MD. Вони заявляють:

Мабуть, найбільш широко застосовуваний метод інтеграції рівнянь руху - це той, який спочатку був прийнятий Верлетом (1967) і приписувався Стормеру (Gear 1971). Цей метод є прямим рішенням рівняння другого порядку . Метод заснований на положеннях r ( t ) , прискореннях a ( t ) та позиціях r ( t - δ t ) з попереднього кроку. Рівняння просування позицій виглядає наступним чином:$m_i \ddot{\textbf{r}}_i = \textbf{f}_i$$\textbf{r}(t)$$\textbf{a}(t)$$\textbf{r}(t - \delta t)$

$$\tag{3.14}\textbf{r}(t + \delta t) = 2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t) + \delta t^2 \textbf{a}(t).$$

Про рівняння (3.14) слід зазначити кілька моментів. Видно, що швидкості взагалі не з’являються. Вони були усунені додаванням рівнянь, отриманих розширенням Тейлора про :$\textbf{r}(t)$

$$\textbf{r}(t + \delta t) = \textbf{r}(t) + \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) + ...$$

$$\tag{3.15}\textbf{r}(t - \delta t) = \textbf{r}(t) - \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) - ... .$$

Потім, пізніше (на стор. 80), автори констатують:

$\mathcal{O}(\delta t^2)$$\mathcal{O}(\delta t^0)$

$\delta t^2 \textbf{a}(t)$$2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t)$

Моє запитання: чому числова неточність є результатом додавання невеликого терміна до різниці великих термінів?

Мене цікавить досить основна, концептуальна причина, оскільки я зовсім не знайомий з деталями арифметики з плаваючою комою. Крім того, чи знаєте ви будь-які посилання на "оглядовий тип" (книги, статті чи веб-сайти), які б познайомили мене з основними ідеями арифметики з плаваючою комою, пов'язаними з цим питанням? Дякую за ваш час.

Їхнє спостереження "" форма алгоритму може непотрібно ввести чисельну точність "" є правильним. Але їх пояснення «» Це відбувається тому, що в рівнянні (3,14), недовгий термін ( ) додають до різниці великих членів ( ), для того , щоб сформувати траєкторію. '' є хибним.$O(δt^2)$$O(δt^0)$

Істинною причиною незначної чисельної нестабільності алгоритму Верле є те, що він лише незначно стабільний, оскільки рівняння різниці (по суті, випадок, коли ви нехтуєте в Verlet) має паразитарний розчин, пропорційний , що призводить до того , що введені помилки лінійно зростають у тоді як для повністю стабільного багатоступеневого методу, застосовуваного до дисипативного диференціального рівняння, зростання помилок обмежується.$x_{k+1}=2x_k-x_{k-1}$$a$$k$$k$

Змінити: Зверніть увагу , що книга про чисельному моделюванні молекулярної динаміки, і для отримання розумної точності отриманих очікувань потрібні величезне число кроків, як точність шкали з тільки . (Часто крок часу знаходиться в пікосекундах, щоб слідкувати за внутрішньою шкалою коливань. Але біологічно відповідні шкали часу знаходяться в мілісекундах або більше ( ), хоча зазвичай ніхто не обчислює так далеко.)$N$$O(N^{-1/2})$$N\sim 10^9$

Докладніші відомості див. У розділі http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Stability_and_convergence

Якщо ви шукаєте гарного вступу, я б запропонував Девіду Голдбергу те, що повинен знати кожен вчений-комп’ютер про арифметику з плаваючою точкою . Це може бути занадто детально, але він доступний в Інтернеті безкоштовно.

Якщо у вас є хороша бібліотека, я б запропонував числові обчислення Майкла Овертона з арифметикою з плаваючою точкою IEEE або перші кілька глав Точності та стабільності чисельних алгоритмів Ніка Хігхема .

Що конкретно мають на увазі Аллен та Тільдеслі, це числове скасування . Короткі його в тому , що якщо у вас є, скажімо, тільки три цифри і відняти 100з 101, ви отримаєте 1.00(в трьох цифр). Число схоже на три цифри, але насправді лише перша цифра - це і .00сміття. Чому? Ну, 100і 101це лише неточні уявлення про, скажімо, 100.12345і 101.4321, але ви можете зберігати їх лише як трицифрові числа.

Щоб застосувати приклад Педро до рівняння , припустимо, що ваші змінні зберігаються із такими значеннями:$(3.14)$

r ( t - δ t ) = 100 δ t 2 a ( t ) =

З випливає це$(3.14)$

але, оскільки ми можемо використовувати лише три цифри, результат стає усіченим

Ця помилка пошириться, так що після 20 кроків, якщо залишиться незмінним, ви отримаєте замість ,r ( t + 20 δ t ) = 331 $\mathbf{a}(t)$$\mathbf{r}(t + 20\delta t) = 331$$433.90$

Педро вже наводить важливий факт, а саме скасування. Справа в тому, що кожне число, з яким ви обчислюєтеся, має пов’язану точність; наприклад, одне точне число з плаваючою точкою може представляти лише речі з точністю приблизно до 8 цифр. Якщо у вас є два числа, які майже однакові, але відрізняються від 7-ї цифри, то різниця знову буде 8-розрядним одноточним номером з плаваючою точкою і виглядає так, що це 8-цифрова точність, але насправді лише перша 1 або 2 цифри є точними, оскільки величини, з яких ви їх обчислили, не є точними за цією першою або двома цифрами різниці.

Зараз ви цитуєте книгу з 1989 року. Тоді найчастіше обчислення проводилися в одній точності, а округлення та скасування - серйозні проблеми. Сьогодні більшість обчислень проводиться з подвійною точністю з 16-ти цифрною точністю, і це набагато менше проблем, ніж раніше. Я думаю, що варто прочитати параграфи, які ви цитуєте, із зерном солі та приймати їх у контексті свого часу.