Накладіть умови сумісності методу змішаних кінцевих елементів у рівнянні Стокса

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Припустимо, у нас є наступне рівняння моделі потоку Стокса:

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ де в'язкість

ν (x)

$\nu(x)$ є функцією, для стандартного змішаного кінцевого елемента, скажімо, ми використовуємо стабільну пару: простір Кроузе - Равіара

V_{h}

$\v{V}_h$ для швидкості

u

$\v{u}$ та постійний простір, що належить до елементів

S_{h}

$S_h$ для тиску

p

$p$ , маємо таку варіаційну форму:

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

і ми знаємо, що оскільки множник Lagrange $p$ може бути визначений до постійної, остаточно зібрана матриця повинна мати нульовий простір $1$ , щоб обійти це, ми могли б примусити тиск $p$ на деякий певний елемент дорівнювати нулю, так що нам не доведеться розв’язувати єдину систему.

Тож ось моє питання 1:

(Q1) Чи є інший спосіб, ніж примусити $p=0$ на якомусь елементі усунути ядро для стандартного змішаного кінцевого елемента? або скажімо, будь-який вирішувач там, який зможе вирішити єдину систему, щоб отримати сумісне рішення? (або деякі посилання вітаються)

А щодо сумісності, що для (1) це повинно бути і приємною маленькою хитрістю є обчислити бути ми отримали з рішення лінійна система віднімається середньозваженим середнім:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

Однак нещодавно я щойно реалізував стабілізований змішаний кінцевий елемент для рівняння Стокса Бочева, Дормана і Гунцбергера $P_1-P_0$ , в якому вони додали стабілізований термін до варіативної формулювання (1): де - проекція від кусково-постійного простору до безперервного кусочного , і постійне ядро початкового змішаного кінцевого елемента відпало, однак, дивні речі траплялися, (2) не Я більше не працюю, я вигадав проблему з тестом

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ проблема інтерфейсу для рівняння дифузії. Це те, що я отримав для тиску , праве - справжнє рішення, а ліве - числове наближення:

p

$p$

Тест Стокса 1

однак якщо є постійною, тестова проблема справляється чудово: $\nu$ Тест Стокса 2

Я здогадуюсь, це тому, що те, як я нав'язую умову сумісності, оскільки це пов’язано з інфляційною стабільністю всієї системи, ось моє друге питання:

(Q2): чи є інший спосіб (2) нав'язати сумісність для тиску ? або під час вирішення проблеми тесту, який тип я повинен використовувати? $p$ $p$

finite-element

— Шухао Цао
джерело

MathML не працює?

— Shuhao Cao

Ми використовуємо MathJaX на StackExchange, все, що ви розмістили, відображається прекрасно, дякую за детальне запитання.

— Арон Ахмадія

8

Умова сумісності стосується швидкості, а не тиску. У ньому йдеться про те, що якщо у вас є лише граничні умови Діріхле для швидкості, то вони повинні бути сумісні з обмеженням, що не відрізняється, тобто з границею обчислювальний домен (не комірка). $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

У цьому випадку не можна відрізнити від з довільною постійною, оскільки у вас немає граничної умови на щоб закріпити константу. Таким чином, існує нескінченно багато рішень для тиску, і для порівняння рішень необхідна конвенція. Математики віддають перевагу вибору таким, що (тому що вони можуть інтегруватися), а фізик вважає за краще (тому що вони можуть вимірювати в бал). Якщо - ваш дискретний еквівалент , це означає, що $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ має нульовий простір, що складається з вектора ідентичності.

Методи підпростору Крилова можуть вирішити єдину систему, видаливши нульовий простір із підпростору Крилова, в якому вони шукають рішення. Однак це не означає, що ви отримаєте рішення яке відповідає заданій умові, вам завжди потрібно буде визначати константу на етапі після обробки, жоден вирішувач не може це зробити за вас. $p$

Ось кілька пропозицій щодо вирішення вашої проблеми:

Рівняння (2) здається дивним. Якщо є функцією як вона може бути поза інтегралом? $\nu$ $x$
Чи задовольняє ваше поле швидкості обмеження сумісності?
Намагайтеся не робити нічого для тиску, просто нехай вирішувач вільно придумає , а потім подивіться на . Це константа? $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
Якщо ні, то ви впевнені, що нульовий простір - це дійсно вектор тотожності і більше нічого? І на папері, і в коді? Проблема здається досить малою, щоб фактично обчислити нульовий простір. $B$

— Крис
джерело

2

Що стосується (Q1), ви можете вибрати вирішувач для задач з седловиною, який обчислює рішення для вашої системи з найменшими квадратами. Тоді для мультиплікатора може бути накладена додаткова умова, як встановлення конкретного ступеня свободи, накладення конкретного середнього.

Взагалі, і я думаю, що це відповідає (Q1), ви можете використовувати лінійне обмеження, яке може відрізняти різні константи.

Це обмеження може бути накладене на етапі після обробки або шляхом відповідного вибору пробного простору (наприклад, якщо ви позбавитеся одного ступеня свободи).

— шухало
джерело