Числове оцінювання сильно коливального інтеграла

У цьому вдосконаленому курсі із застосування складної теорії функцій в один момент вправляють високо коливальний інтеграл

$$I(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x$$

має бути наближеним для великих значень використовуючи метод точки сідла в складній площині.$\lambda$

Зважаючи на сильно коливальний характер, цей інтеграл дуже важко оцінити, використовуючи більшість інших методів. Це два фрагменти графіка інтеграду для в різних масштабах:$\lambda = 10$

Асимптотичне наближення провідного порядку

$$I_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}}$$

і подальше (набагато менше) уточнення додає цей термін

$$I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}}$$

Графік наближених значень як функції виглядає так:$\lambda$

Тепер виникає моє запитання: щоб візуально побачити, наскільки гарне наближення, я хотів би порівняти його з "реальним значенням" інтеграла, а точніше з хорошим наближенням до того ж інтегралу за допомогою незалежного алгоритму. Через невелику корекцію субелінгу, я б очікував, що це дійсно близько.

Я намагався оцінити інтеграл для деяких використовуючи інші алгоритми, але з дуже невеликим успіхом: Mathematica і Matlab, використовуючи цифровий інтегратор за замовчуванням, не вдається створити значуще значення (і повідомити про це явно), mpmath, використовуючи обидва подвійні експоненціальні Заміна та метод Гаусса-Леандра дає дуже галасливі результати, хоча він має незначну тенденцію коливатися навколо значень, що дає метод сідлових точок, як показує цей графік:$\lambda$$\tanh(\sinh)$

Нарешті, я спробував свою удачу з інтегратором Монте-Карло, використовуючи зразок важливості, який я реалізував, але мені також не вдалося отримати стабільних результатів.

Хтось має уявлення про те, як цей інтеграл можна незалежно оцінити для будь-якого фіксованого значення або близько того?$\lambda > 1$

Використовуйте теорему Планчереля для оцінки цього інтеграла.

Основна ідея полягає у тому, що для двох функцій $f,g$ ,

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G^*(k) dk$$

де $F,G$ - перетворення Фур'є у $f,g$ . Ваші функції мають відносно невелику підтримку в спектральній області. Тут $\sin x / x \rightarrow \text{rect}(k)$ і $\cos(\lambda\cos x)$ повинні мати аналітичне перетворення Фур'є (або ряд), як розширення Якобі-Анже . Ви можете обрізати нескінченний ряд приблизно за $\lambda$ за рахунок суперекспоненціального розпаду функції Бесселя $|J_n(x)|$для $n>|x|$. Сподіваюсь, це допомагає.

Редагувати : Насправді вам слід використовувати представлення серії Фур'є замість перетворень. Шлях перетворення призводить до отримання асимптотичного представлення, яке ви вже маєте (виявляється, це просто $\pi J_0(\lambda)$ ). Викладена вище теорема Планчерела також працює для рядів Фур'є з областю інтеграції $[0,2\pi]$ на останньому інтегралі.

Ключовим моментом для оцінки коливальних інтегралів є урізання інтегралу в потрібній точці. Для цього прикладу потрібно вибрати верхню межу форми

$$\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$ Перш ніж пояснити, чому це має працювати, дозвольте мені спочатку показати, що це насправді дає хороші результати.

Асимптотика

Неважко здогадатися, що асимптотичний ряд має вигляд

$$I(\lambda) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\left[\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right) + c_1 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda} + c_2 \frac{\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^2} + c_3 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^3} + \dots \right]$$ $c_1 = \frac{1}{8}$

int := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, 20.5*Pi}]; 
Plot[{l*(Sqrt[2*l/Pi]*int - Cos[l-Pi/4]), Sin[l-Pi/4]/8}, {l, Pi/4, 20}]

Як результат ви отримуєте досить приємний синус, який збігається з тим, який ви отримали вище.

Якщо ви хочете знайти наступні коефіцієнти, трохи більш досконалий фрагмент коду, якщо це потрібно. Ідея коду, наведеного нижче, полягає у тому, щоб взяти декілька високих верхніх граничних значень та "оцінити" їх результати.

J[l_?NumericQ] := Block[{n=500},
  f[k_] := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x,0,(n+k)*Pi+Pi/2},
  Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->14, MaxRecursion->100];
  1/2*((f[0]+f[1])/2+(f[1]+f[2])/2)
]
t = Table[{l, l^2*(Sqrt[2*l/Pi]*J[l] - Cos[l-Pi/4] - 1/8*Sin[l-Pi/4]/l)}, 
    {l, 4*Pi+Pi/4, 12*Pi+Pi/4, Pi/36}];
Fit[t, Table[Cos[l-Pi/4+Pi/2*n]/l^n, {n, 0, 10}], l]

$$\boxed{ \boxed{ c_2 = -\frac{9}{128}, \qquad c_3 = -\frac{75}{1024}, \qquad c_4 = \frac{3675}{32768}, \quad\dots }}$$

Пояснення

Простий приклад

$$S(x) = \int_{0}^x \frac{\sin(y)}{y} dy.$$ $S(\infty)=\frac{\pi}{2}$

$S(x)$

$$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}.$$ $$S \approx S_N + \frac{1}{2}\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}.$$ $$S(x) \approx \int_0^{\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}dx$$ $\max |S'(x)|$

Твоя проблема

$$I_{x_0}(\lambda) = 2\int_{0}^{x_0}\cos\left(\lambda\cos(x)\right)\operatorname{sinc}(x)dx$$ $x_0 = \pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$\lambda = 12\pi$

tab = Table[{x0, 2*NIntegrate[Cos[12*Pi*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, x0}, 
     Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->12, MaxRecursion->100]},
    {x0, 10*Pi+Pi/2, 30*Pi+Pi/2, Pi}];
tab1 = Table[(tab[[i]] + tab[[i+1]])/2, {i,1,Length[tab]-1}];
ListPlot[{tab, tab1}]

$$S_N' = \frac{1}{2}(S_N+S_{N+1})$$ $S_N'$

Тут працює метод Оура для синусових інтегралів Фур'є, див.

Оура, Такуя та Масатаке Морі, міцна подвійна експоненціальна формула інтегралів типу Фур'є. Журнал обчислювальної та прикладної математики 112.1-2 (1999): 229-241.

Я написав реалізацію цього алгоритму, але ніколи не вкладав у роботу, щоб його швидко (як, скажімо, кешування вузлів / ваг), але, тим не менш, я отримую стійкі результати у всьому, що перевищує точну точність:

float     = 0.0154244
double    = 0.943661538060268
long dbl  = 0.943661538066058702
quad      = 0.943661538066060288748574485677942
oct       = 0.943661538066060288748574485680878906503533004997613278231689169604876
asymptotic= 0.944029734

Ось код:

#include <iostream>
#include <boost/math/quadrature/ooura_fourier_integrals.hpp>
#include <boost/math/constants/constants.hpp>
#include <boost/multiprecision/float128.hpp>
#include <boost/multiprecision/cpp_bin_float.hpp>

template<class Real>
Real asymptotic(Real lambda) {
    using std::sin;
    using std::cos;
    using boost::math::constants::pi;
    Real I1 = cos(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/lambda);
    Real I2 = sin(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/(lambda*lambda*lambda))/8;
    return I1 + I2;
}

template<class Real>
Real osc(Real lambda) {
    using std::cos;
    using boost::math::quadrature::ooura_fourier_sin;
    auto f = [&lambda](Real x)->Real { return cos(lambda*cos(x))/x; };
    Real omega = 1;
    Real Is = ooura_fourier_sin<decltype(f), Real>(f, omega);
    return 2*Is;
}

template<class Real>
void print(Real val) {
   std::cout << std::defaultfloat;
   std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
   std::cout <<  val <<  " = " << std::hexfloat << val;
}

int main() {
    using boost::multiprecision::float128;
    float128  s = 7;
    std::cout << "Asymptotic = " << std::setprecision(std::numeric_limits<float128>::digits10) << asymptotic(s) << "\n";
    std::cout << "float precision = ";
    print(osc(7.0f));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "double precision= ";
    print(osc(7.0));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "long double     = ";
    print(osc(7.0L));
    std::cout << "\n";
    print(osc(s));

    print(osc(boost::multiprecision::cpp_bin_float_oct(7)));
    std::cout << "\n";
}

$\lambda\to 0$