Математично, чому працює матрична / навантажувальна векторна згущення?

Я знаю, що люди часто замінюють узгоджені матриці маси на маточні діагональні. Раніше я також реалізовував код, коли вектор навантаження збирається згублено, а не відповідно до FEM. Але я ніколи не розглядав, чому нам дозволяють це робити в першу чергу.

Яка інтуїція, що стоїть за грудкою, дозволяє застосовувати її до векторів маси та навантаження? Яке математичне обґрунтування для цього? У яких ситуаціях грудочки не допускаються / не є гарним наближенням для векторів маси та навантаження?

У методі кінцевих елементів матричні записи та записи правого боку визначаються як інтеграли. Ми, як правило, не можемо обчислити їх точно і застосувати квадратуру. Але існує багато квадратурних формул, які можна було вибрати, і часто вибираємо їх таким чином, щоб (i) помилка, введена квадратурою, була в тому ж порядку, що і внаслідок дискретизації, або, принаймні, не істотно гірша, і (ii) матриця має певні властивості, які виявляються зручними.

Приклад такої роботи є масовим згущенням: якщо вибирають певну формулу квадратури (а саме ту, яка має квадратурні точки, розташовані в точках інтерполяції кінцевого елемента), то отримана матриця маси буває діагональною. Це досить зручно для обчислювальної реалізації, і причина, чому люди використовують ці квадратурні формули. Це також причина, чому вона "працює": Цей конкретний вибір квадратурної формули все ще має досить високий порядок.

Діагональні матриці мають очевидні переваги у прискоренні чисельних обчислень, і відповідь Вольфганга Бангерта є хорошим поясненням того, як обчислити діагональну матрицю маси, але вона не відповідає на питання ОП "чому це працює " у розумінні "чому так це гарне наближення до фізики, яку ви моделюєте ".

Концептуально ви можете розділити реакцію елемента на три частини: поступальний рух жорсткого тіла, жорстке обертання навколо центру маси елемента та деформацію елемента.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Отже, вам справді потрібне лише "хороше" наближення до твердих частин тіла руху, тобто 6 DOF, і насправді гарне наближення до лише KE від жорсткого перекладу тіла , тобто 3 DOF, буде сходитися, оскільки розмір елемента зменшено.

Діагональні умови матриці елементів містять більш ніж достатньо незалежних параметрів, щоб представити ці 3 або 6 термінів KE ​​з достатньою точністю. Насправді для елементів вищого порядку можна використовувати масові діагональні масові матриці, де діагональні члени для вузлів середньої сторони дорівнюють нулю.

Зауважимо, що це зовсім інша ситуація від потенційної енергії елемента, де внески від переведення і обертання жорсткого тіла дорівнюють нулю, і єдине, що має значення, - це представлення енергії деформації, що відповідає деформації елемента . Матриця діагональної жорсткості не була б такою можливою ідеєю!

Крім інших відповідей, існують сценарії, в яких помилки в матриці мас не впливають на бажаний результат.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Хоча міркування про динамічну фізичну поведінку, звичайно, простіше за допомогою "правильної" матриці мас - наприклад, кутовий імпульс може бути неправильно збережений за допомогою масованих матриць.}