Числові методи для розривів ОРЕ з розривом

які найсучасніші методи чисельного вирішення ODE з розривним правою стороною? Мене найбільше цікавлять кусково-гладкі функції правого боку, наприклад, знак.

Я намагаюся вирішити рівняння наступного типу:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— Андрій Шевляков
джерело

Привіт @AndreyShevlyakov і ласкаво просимо до Scicomp! Чи є якийсь клас ODE, який вас цікавить?

— Пол

Привіт Пол! Так, я зараз намагаюся реалізувати якусь модель тертя проти ковзання.

— Андрій Шевляков

Чи можете ви включити рівняння, які ви хочете розв’язати у своєму питанні? Це допоможе звузити конкретні методи, застосовні до вашої проблеми.

— Пол

Я додав приклад до посади

— Андрій Шевляков

Коли я працював над ACSL, він включав у себе кореневий пошук, тож ви могли змусити його шукати час, коли швидкість дорівнюватиме нулю, а потім починати свіжий з цієї точки з новими резус.

— Майк Данлаве

Відповіді:

Дивіться нову книгу Девіда Стюарта (2011) на цю тему « Динаміка з нерівностями: наслідки та важкі обмеження» . Проблеми тертя Кулона згадуються кілька разів у розділах аналізу.

Глава 8 присвячена чисельним методам для негладких ODE та DAE. Він здебільшого виступає за цілком неявні методи Рунге-Кутти зі спеціальним лікуванням негладкості. Примітка Розділу 8.4.4, який вказує, що якщо ви точно не знайдете точки негладкості , всі методи деградують до точності першого порядку , тому неявні Ейлер (з модифікаціями для негладкості) популярні на практиці. Крім того, рішення проблем , пов'язаних з безкінечномірні нерівностей , як правило , НЕ кусочно - гладкою, тому теорія дає лише збіжність, хоча на практиці, $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ часто спостерігається.

— Джед Браун
джерело

Щиро дякую! Чи знаєте ви, чи є десь доступні реалізації?

— Андрій Шевляков

Не те, що я знаю, але реалізація простих схем не повинна бути надто складною, якщо у вас є вирішувач статичних варіативних нерівностей.

— Джед Браун

Найбільш вагомою довідкою, про яку я знаю, є теза Девіда Стюарта, якій більше 20 років:

Чисельні методи високої точності для звичайних диференціальних рівнянь з розривним правою стороною

У рефераті посилаються на кілька значних ранніх робіт. Ключове слово тут - диференційоване включення .

— Девід Кетчесон
джерело

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

Наприклад, якщо у вас рухома маса з блоком, то відстань між масою і блоком може використовуватися як функція нульового перетину.

Багато вирішувачів ODE (наприклад, SUNDIALS CVODE) автоматично перевіряють, чи будь-яка з функцій перетину нуля змінила свій знак протягом останнього кроку часу. Якщо це так, то для визначення точного розташування кореня використовується метод пошуку кореня. Потім вирішувач може бути перезапущений у цій конкретній позиції. Це або робиться автоматично самим розв’язувачем, або вручну за допомогою виклику коду.

— Флоріан Брюкер
джерело

З метою пошуку: можна також говорити про "місце події"; Hairer / Nørsett / Wanner добре обговорив це питання.

— JM