Чому чисельний розчин ОДЕ відходить від нестабільної рівноваги?

Я хочу імітувати поведінку системи, що нагадує подвійний маятник. Система - це маніпулятор-робот 2 ступеня свободи, який не спрацьовує, і, отже, буде вести себе, як подвійне маятник, постраждалий від сили тяжіння. Єдина основна відмінність з подвійним маятником полягає в тому, що він складається з двох жорстких тіл з властивостями маси та інерції в їх центрах маси.

В основному я програмував ode45під Matlab для вирішення системи ODE такого типу:

$$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$$

де $x_1$ - кут першого тіла відносно горизонталі, $x_2$ - кутова швидкість першого тіла; $x_3$ - кут другого тіла відносно першого тіла, а $x_4$ - кутова швидкість другого тіла. Всі коефіцієнти вказані в наступному коді, в rhsі fMassстворених мною функціях.

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

Зверніть увагу, як я встановив початкову умову $x_1$ (кут першого тіла відносно горизонталі), щоб система запускалася у абсолютно вертикальному положенні. Таким чином, оскільки діє лише гравітація, очевидним результатом є те, що система взагалі не повинна рухатися з цього положення.

ПРИМІТКА: у всіх графіках, поданих нижче, я побудував рішення $x_1$ і $x_3$ щодо часу.

ODE45

Коли я запускаю моделювання протягом 6 секунд ode45, я отримую очікуване рішення без проблем, система залишається там, де вона є, і не рухається:

Однак, коли я запускаю моделювання протягом 10 секунд, система починає нерозумно рухатися:

ODE23

Потім я запустив моделювання, ode23щоб перевірити, чи проблема не зникає. Я закінчуюсь такою ж поведінкою, тільки цього разу розбіжність починається через 1 секунду:

ODE15s

Потім я запустив симуляцію, ode15sщоб перевірити, чи проблема не існує, система здається стабільною навіть протягом 100 секунд:

Потім знову ode15sлише перший порядок та зауважте, що є лише кілька інтегруючих кроків. Тому я запустив ще одне моделювання ode15sпротягом 10 секунд, але MaxStepрозміром $0.01$ для підвищення точності, і, на жаль, це призводить до того ж результату, що і для обох ode45і ode23.

Зазвичай очевидним результатом цих симуляцій буде те, що система залишається у вихідному положенні, оскільки ніщо її не турбує. Чому виникає така розбіжність? Чи має щось спільне з тим, що такі типи систем мають хаотичний характер? Це нормальна поведінка для odeфункцій в Matlab?

Я думаю, що два основні моменти вже були зроблені Брайаном та Ертсієм: ваше початкове значення - це нестабільна рівновага, а той факт, що ваші чисельні обчислення ніколи не є точними, забезпечує невелике збурення, яке призведе до нестабільності.

Щоб детальніше розповісти, як це відбувається, розгляньте свою проблему у вигляді загальної проблеми початкового значення

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$$ $\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$

$$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$$\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$$\tilde{\mathbf{f}}$

У своєму коді ви можете перевірити це за допомогою обчислень

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

що дає 6.191e-16 - так майже, але не точно нульовий. Як це впливає на динаміку вашої системи?

$\mathbf{f}$$\mathbf{y}_0$$\tilde{\mathbf{y}}_0$

Крім того, за дуже короткий час рішення вашої системи виглядає як рішення лінеаризованої системи

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$$

$\mathbf{f}'$$\mathbf{f}$rhs$\mathbf{y}_0$$\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$$\mathbf{d}$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$$

Я не міг потрудитися обчислити якобійський вручну, тому я використав автоматичну диференціацію, щоб отримати гарне наближення:

$$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

щоб ваше рівняння стало

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$$

Тепер нам потрібен останній крок: ми можемо обчислити власне значення декомпозиції якобіян таким чином

$$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$$

$\mathbf{D}$$\mathbf{J}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{d}$$\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$$

$\mathbf{D}$

$$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$$

$i=1,2,3,4$$\lambda_1 = 3.2485$

$$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$$

$\mathbf{d}(0) = 0$$\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$$e_1(0) = 0$$e_1(0)$

$\pi/2$$\pi/2$

Подивіться на складові сили, обчислені у ваших функціях.

Ви, ймовірно, виявите, що вони ніколи не бувають абсолютно нульовими, оскільки, як говорили інші відповіді, ви не можете представляти значення$\pi$ точно в комп'ютерній арифметиці, і підпрограми, які обчислюють триггерні функції, також не точні.

Врешті-решт, крихітні сили (напевно, порядку) $10^{-16}$ на початку) відсуне систему від свого нестабільного положення рівноваги.

Хоча переміщення системи ще дуже мало, всі обчислення втратять велику точність через помилки округлення (ви робите розрахунки, аналогічні $a = 1.0$; $a = a + 10^{-16}$), тож кількість часу до того, як система "перекинеться" в моделюванні, залежатиме від того, який саме метод інтеграції ви використовували, які часові кроки ви вимагали тощо

Початкове припущення полягало в тому, що початкове положення знаходилося в стабільній рівновазі (тобто мінімум потенційної енергії) з нульовою кінетичною енергією і система почала віддалятися від рівноваги.
Оскільки фізично це не може статися (якщо розглядати класичну механіку), мені спали на думку дві речі:

1. Перший полягає в тому, що, можливо, початкове положення таке: обидва маятника спрямовані вгору ($\pi/2$ замість $-\pi/2$?), що є точкою нестабільної рівноваги;

2. Другий - це те, що, можливо, щось не так з рівняннями руху (можливо, друкарня десь?). Чи можете ви, будь ласка, записати рівняння прямо? Можливо, ви могли побудувати кутове прискорення як функцію від початкового положення кожного маятника, припускаючи нульову кутову швидкість, щоб перевірити, чи є щось дивне.

Вам слід більше шукати подвійні маятники: вони називаються "хаотичними системами". Незважаючи на те, що вони поводяться за простими правилами, починаючи з трохи інших початкових умов, рішення розходяться досить швидко. Зробити чисельне моделювання для подібних систем непросто. Перегляньте наступне відео, щоб отримати більш глибоке розуміння проблеми.

Для простого або подвійного маятника ви можете написати формулу загальної енергії системи. Якщо припустити, що силами тертя нехтують, ця загальна енергія зберігається аналітичною системою. Числово це зовсім інше питання.

Перш ніж спробувати подвійне маятник, спробуйте просте маятник. Ви помітите, що для методів Runge-Kutta невеликого порядку енергія системи зростатиме в числових моделюваннях, а не залишається постійною (саме це відбувається у ваших моделюваннях: ви отримуєте рух з нічого). Для запобігання цього можна використати методи RK вищого порядку (ode45 - це порядок 4; RK порядку 8 працював би краще). Існують і інші методи, що називаються "симплектичними методами", розробленими таким чином, що чисельне моделювання зберігає енергію. Як правило, ви повинні припинити моделювання, як тільки енергія значно зросте порівняно з вашою ініціалізацією.

І спробуйте зрозуміти простий маятник, перш ніж перейти до подвійного.