Швидке (приблизне) оцінювання многочлена Чебишева

Чи є кращий спосіб, як здійснити швидку (приблизну) оцінку інтерполяційного полінома Чебишева на рівномірній сітці (з урахуванням значень функції у вузлах Чебишева)? Моя проблема полягає в тому, що інтерполяція стає повільною, коли ступінь інтерполяційного полінома зростає.

На думку мені прийшли такі ідеї:

Спробуйте адаптувати нерівномірні методи FFT (NFFT)
Використовуйте FFT для обчислення похідних у вузлах Чебишева, можливо, після першого переходу до тоншої сітки (Чебишева). Потім використовуйте кусково-кубічну інтерполяцію для (приблизної) оцінки.
Використовуйте певну формулу, яка використовує лише значення функцій (і потенційно похідних) у "сусідніх" вузлах Чебишева (це пов'язано з конкретною технікою NFFT).

interpolation fourier-analysis fftw

— Томас Клімпель
джерело

Погляньте на chebfun ! Це ціла бібліотека, яка ґрунтується на функціональних уявленнях за допомогою многочленів Чебишева. Це відкритий код, високо оптимізований і доглянутий, і я думаю, що якщо існує кращий спосіб точної оцінки полінома, то ви його знайдете там.

— січня

Чи думали ви використовувати баріцентричну інтерполяцію ? Детальний опис того, як це зробити ефективно для вузлів Чебишева, наведений у розділі 5 цього документу.

Це насправді точна оцінка Чебишевського інтерполянта. Якщо ви оцінюєте многочлен ступеня $n$ у $m$ вузлів, вартість в $\mathcal O(nm)$ .

Оновлення

Іншою альтернативою, якщо у вас є коефіцієнти Чебишева вашого інтерполяційного многочлена, є використання алгоритму Кленшоу . Якщо у вас є лише значення функцій у вузлах Чебишева, але вам доводиться кілька разів оцінювати поліном, ви можете обчислити коефіцієнти з FFT.

Алгоритм Кленшо є дещо швидшим, ніж баріцентрична інтерполяція, оскільки він вимагає лише додавання та множення, а також він векторизується досить непогано.

— Педро
джерело

В даний час я це роблю, попередньо обчислюючи ваги відносно значень функцій у вузлах Чебишева для конкретної точки оцінювання, потім оцінюйте цю точку для всіх інтерполяцій, які я маю робити (їх багато, усі з однаковими вузлами Чебишева та однаковими точками оцінки) , а потім перейдіть до наступної точки оцінювання.

— Томас Клімпель

@ThomasKlimpel: Як ви обчислюєте ваги? Якщо ви використовуєте вузли Чебишева

[- 1, 1]

$[-1,1]$ , вони просто

\pm 1

$\pm 1$ , або

\pm 1 / 2

$\pm 1/2$ по краях Якщо швидкість насправді суть, я додав у свою відповідь алгоритм Кленшоу. На мій досвід, у складеному коді це приблизно в чотири рази швидше.

— Педро