Як інтегрувати вираз полінома над 3D-елементом 4-вузла?

Я хочу інтегрувати вираз полінома над 4-вузловим елементом у 3D. Декілька книг про ЗЕД стосуються випадку, коли інтегрування здійснюється над довільним плоским 4-нометним елементом. Звичайна процедура в цьому випадку полягає в пошуку матриці Якобі і використанні її визначального фактора для зміни бази інтеграції на нормовану, в якій у мене є більш прості межі інтеграції [-1; 1], і квадратурна техніка Гаусса-Лежандра легко використовується.

Іншими словами $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Але в 2D випадку я змінюю плоский довільний елемент на плоский, але добре сформований квадрат 2 на 2.

3D-4-кишений елемент взагалі не плоский, але, мабуть, він все ще може бути відображений за допомогою 2D системи координат, яка так чи інакше пов'язана з декартовою системою координат. Я не можу зрозуміти, як виразити {x, y, z} через {e, n} і яким би був розмір матриці Якобі в цьому випадку (він повинен бути квадратним).

2D та 3D домени

finite-element quadrature

— danny_23
джерело

Ви інтегруєте функцію на двовимірному множині, вбудованому в ; книги, що аналізуються на колекторах (на зразок доступної книги Мункреса чи книги Лі про колектори), корисні для обговорення теорії, що визначає цей тип інтеграла. $\mathbb{R}^{3}$

Припустимо, що - реальна значення функції, визначена на колекторі , який є вашим 4-вузловим 3-D елементом. $f$ $\mathcal{M}$

Ви хочете розрахувати:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Припустимо, що - функція, яка відображає на . Тоді $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Я використовував цей набір нотаток для оновлення пам’яті.) Вище є якобійською матрицею , а - її перенесення. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Як тільки ви зможете написати інтеграл через , тоді ви можете використовувати чисельні методи для його оцінки. $[-1,1]^{2}$

Деякі коментарі:

Я впевнений, що ваш 3-вузловий 3-D елемент - це колектор. Якщо вона є, функція існує (за визначенням), кусково-неперервна (для топологічних многообразий) і є незворотною. Ви вирішуєте знайти функцію з цими властивостями. $\varphi$
Вищенаведений аргумент передбачає, що - це гладкий багатообразник, що означає, що існує що постійно диференціюється. У вашому випадку елемент, який ви описуєте, може бути неперервно диференційованим. Якщо це правда, ви, ймовірно, все ще можете розділити свій колектор на два гладких колекторів, і тоді аргумент, що знаходиться вище, все ще має місце. Знову ж таки, ви повинні знайти задовольняють властивості зворотності та безперервної диференційованості. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Джефф Оксберрі
джерело

Дуже дякую. Книга, яку я читаю, охоплює лише той випадок, коли у квадратній (2 на 2) матриці Якобі задіяно просто. Вираз, викладений вище, якщо я це правильно зрозумів, дає можливість використовувати довільні матриці Якобі за розміром 2. На жаль, я все ще отримую на даний момент, але це набагато краще, ніж я мав раніше. Я створю ще одну нитку щодо правильного вибору функції відображення. Знову дякую.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

Джефф, це правильно. Я ставлю просту загальну формулу плюс відпрацьований приклад тут: теоретичний-

— physics.net/dev/src/math/integration.html