числова інтеграція з можливим поділом на "нуль"

Я намагаюся інтегруватися

\int_{0}^{1} т^{2 н + 2} досвід (\frac{α r_{0}}{т}) г т

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

що є простою трансформацією

\int_{1}^{\infty} х^{2 н} досвід (- α r_{0} х) г х

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

використовуючи тому що важко наблизити неправильні інтеграли. Це, однак, призводить до проблеми оцінювання нового інтегралу біля нуля. Буде дуже легко отримати належну кількість квадратурних вузлів, бачачи, що інтервал має довжину лише 1 (тому порівнянний можна зробити дуже малим), але які міркування слід враховувати при інтеграції поблизу нуля? $t = \frac1{x}$ $dt$

На якомусь рівні я думаю, що просто взяти - це гарна ідея, де - невелике число . Однак яке число я повинен вибрати? Чи повинен це бути машинний епсилон? Чи добре поділене число за допомогою машинного епсілона? Крім того, якщо поділ моєї машини epsilon (або близько до нього) дасть неймовірно велику кількість, то прийом стане ще більшим. $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Як я повинен це пояснювати? Чи є спосіб мати чітко визначений числовий інтеграл цієї функції? Якщо ні, то який найкращий спосіб інтеграції функції?

quadrature accuracy

— drjrm3
джерело

Чи думали ви використовувати Монте-Карло?

— Faheem Mitha

Я відчуваю, що це не вирішить проблему. Інтеграція Монте-Карло часто зарезервована для інтегралів високих розмірів. Я б зіткнувся з тими ж проблемами, що і з Монте-Карло, я просто мав би менший контроль над тим, де оцінюється моя функція.

— drjrm3

Ви можете мати рацію.

— Faheem Mitha

Я думаю, що все-таки було б добре відповісти (можливо, на окреме, більш загальне запитання), пояснивши, як можна виконати числову інтеграцію, коли функція розходяться на одній межі, для загального випадку, коли інтеграл неможливо зробити аналітично. Потім знову це можна було б також знайти в числових рецептах ...

— David Z

@Faheem: "Монте-Карло - надзвичайно поганий метод; його слід застосовувати лише тоді, коли всі альтернативні методи гірші". - Алан Сокал

— JM

Відповіді:

Це можна зробити за допомогою інтеграції за частинами:

\int_{1}^{\infty} х е^{- а х} = \frac{- 1}{а} х е^{- а х} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{а} \int_{1}^{\infty} е^{- а х} = \frac{е^{- а}}{а} + \frac{е^{- а}}{а^{2}} = \frac{а + 1}{а^{2}} е^{- а}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$ і продовжується індукцією

\int_{1}^{\infty} х^{к} е^{- а х} = \frac{- 1}{а} х^{к} е^{- а х} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- к}{а} \int_{1}^{\infty} х^{к - 1} е^{- а х} = \frac{е^{- а}}{а} + \frac{к}{а} \int_{1}^{\infty} х^{к - 1} е^{- а х}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$ так що

Я (к) = \frac{е^{- а}}{а} + \frac{к}{а} Я (к - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$ і

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$ .

— Метт Кнеплі
джерело

абсолютно не маю уявлення, як я не помітив цього. Дякую тобі.

— drjrm3

Розумна заміна та інтеграція по частинах завжди повинні бути одними з перших, що ви робите з непослушними інтегралами.

— JM

Часто корисно запитувати систему алгебри комп'ютера, коли у вас є такий інтеграл. Клен оцінює "

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$ "негайно в

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$ ; Я впевнений, що Mathematica робить те саме. (Але все-таки хороша ідея, щоб перевірити це чисельно, звичайно, що зазвичай можуть робити і ці хлопці.)

— Ерік П.

Насправді Mathematica вирішує представити відповідь як ExpIntegralE [-2 n, ar]. Якщо на ньому запустити FunctionExpand, він дає ту саму відповідь, що і Maple.

— Searke

Погляньте на QUADPACK . Він має підпрограми для інтеграції над (напів) нескінченними доменами.

— GertVdE
джерело