Розрахунок фактору Холеського

11

Тож теорема про декомпозицію Холеського стверджує, що будь-яка реальна симетрична позитивно-визначена матриця має розклад Холеського де - нижня трикутна матриця. $M$ $M= LL^\top$ $L$

З огляду на $M$ , ми вже знаємо , є швидкі алгоритми для розрахунку його Чолеска фактора $L$ .

Тепер, припустимо, мені дали прямокутну матрицю , і я знав, що є позитивно визначеним. Чи є спосіб , щоб обчислити Чолескі фактор з без обчислення явно , а потім застосовуючи алгоритми факторизації Холецького? $m\times n$ $A$ $A^\top A$ $L$ $A^\top A$ $A^\top A$

Якщо $A$ - дуже велика прямокутна матриця, яка виконує $A^\top A$ явно здається, дуже дорогою, і звідси виникає питання.

linear-algebra algorithms

— усміхненийбудда
джерело

Більш за рахунок формування матриці крос-продуктів, цей підхід також квадратики умова номер вашої

A

$\mathbf A$ . Якщо ваш

A

$\mathbf A$ майже не має дефіциту, то це, безумовно, поганий спосіб продовження.

— JM

Це питання і це запитання задають одне й те саме по-різному. Відповіді в цих темах (і відповіді нижче) повинні бути корисними для вас.

— Демієн

8

Так, ви можете отримати коефіцієнт (до ознак записів), використовуючи QR-розкладання; дивіться цю відповідь . Зауважте, що якщо все, що вас цікавить, вирішує задачу з найменшими квадратами, які призводять до нормальних рівнянь, що включають , ви можете використовувати розклад QR безпосередньо. $A^T A$

— Крістіан Класон
джерело

7

Так. Обчисліть факторизацію та візьміть ; змінити розмір рядків за необхідності (змінивши деякі їх знаки), щоб знак діагоналі був негативним (як визначається коефіцієнт Чолеського, що має негативну діагональ). $QR$ $L=R^T$ $R$

Про розрізнені QR-факторизації див., Наприклад, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408

— Арнольд Ноймаєр
джерело