рівномірний проти неоднорідної сітки

Це, мабуть, питання рівня студента, але я не можу точно зробити це чітко. Чому точніше використовувати нерівномірні сітки в числових методах? Я думаю в контексті деякого методу з кінцевою різницею для PDE вигляду $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ . І припустимо, мені цікаво рішення в точці $x^{\ast}$ . Отже, я можу бачити, що якщо я наближую другу похідну, наприклад, на рівномірній сітці, використовуючи триточне наближення, помилка другого порядку $O(h^2)$. Тоді я можу побудувати неоднорідну сітку за допомогою відображення та знайти коефіцієнти для трьох точок, які використовуються для наближення похідної. Я можу зробити розширення Тейлора і знову отримати обмеження для похідної, що є другим порядком , де h - відстань на рівномірній сітці, з якої я отримав відображення до нерівномірної сітки. Обидві оцінки містять похідні, і мені незрозуміло, чому рішення було б більш точним на нерівномірній сітці, оскільки це залежить від величини відповідних похідних в оцінках помилок? $O(h^2)$$h$

Обґрунтування нерівномірних сіток виглядає так (всі рівняння розуміються як якісні, тобто, як правило, правдиві, але без претензії бути доказовими для будь-яких обставин і для всіх рівнянь або всіх можливих дискрецій):

Розв'язуючи рівняння, скажімо, з лінійними кінцевими елементами, тоді ти зазвичай маєш оцінку помилок типу або еквівалентно, але у такій формі, яка краще підходить до наступного: ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ Однак це завищена. Насправді можна в багатьох випадках показати, що помилка насправді має вигляд ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C ∑ K ∈ T h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) . Тут K - клітини тріангуляції $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$. Це показує, що для того, щоб помилка була невеликою, насправді не потрібно зменшувати максимальний розмір сітки . Швидше за все , найбільш ефективною стратегією буде врівноважувати вклади помилок cellwise ч 4 K | | ∇ 2 U ‖ 2 L 2 ( K ) - іншими словами, ви повинні вибрати годину K α | | ∇ 2 U ‖ - +1 / 2 L 2 ( К ) . Іншими словами, розмір локальної сітки $h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ має бути малим там, де розчин шорстким (має великі похідні), і великим, коли розчин гладкий, а формула вище забезпечує кількісну міру цього співвідношення.$h_K$

Доведіть це на цьому прикладі. Яка максимальна помилка при інтерполяції sqrt (x) на проміжку [0,1] з кусочно-лінійною інтерполяцією на рівномірній сітці?

Яка максимальна помилка при інтерполяції на сітку, в якій i-я n точок задається (i / n) ^ s, а s - ретельно обраним параметром класифікації сітки?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Каміль, розв'язання диференціальних рівнянь є глобальним, інтерполяція - локальною. У кусково-поліноміальній інтерполяції точність, далека від сингулярності, не буде заважати сингулярності. На жаль, це зовсім не вірно для розв’язання еліптичного рівняння, наприклад, двоточкової крайової задачі. Сингулярність забруднить наближення глобально.

Ось щось спробувати. Розв’яжіть D (sqrt (x) Du) на [0,1] з однорідними дирихле Bcs D - оператором диференціювання. Використовуйте кінцеві елементи або кінцеві відмінності на рівномірній сітці n-точок. Порівняйте із сіткою, у якій i-та точка (1 / n) ^ 1,5. Зауважимо, що найгірша помилка для рівномірної сітки - це далеко не сингулярність і значно більша, ніж для градуйованої сітки.