Коли ми використовуємо поліноми Бернштейна в застосуванні

9

Коли бажано використовувати поліноми Бернштейна для апроксимації безперервної функції, а не використовувати лише такі попередні методи чисельного аналізу: "Поліноми Лагранжа", "Прості оператори з кінцевими відмінностями".

Питання полягає у порівнянні цих методів.

finite-element finite-difference interpolation

— АмірХосейн Садегіманеш
джерело

2

Чому BERNSTEIN з великої літери? Це посилання на певний програмний пакет?

3

Один аспект мого запитання був майже до вашого запитання, я хочу побачити, чи є переважання використовувати цей метод замість тих, які були згадані навіть у дуже особливих випадках? Поліноми BERNSTEIN приємні самі по собі і мають багато властивостей, але чи їх краще використовувати, наприклад, в комп'ютерній програмі чи в інших ситуаціях?

7

Поліноми Бернштейна і поліноми Лагранжа охоплюють однакові простори. Отже, з точки зору можливих функцій можна представляти, використовуючи ту чи іншу, що не має ніякої різниці. Однак якщо ви думаєте використовувати їх як базові функції або методом кінцевих елементів, або проблемою інтерполяції, спектральні властивості створеного вами лінійного оператора залежатимуть від поліномів, які ви виберете як основу. Це може спричинити розбіжність у конвергенції ітеративних розв’язувачів. Однак за відсутності лінійної помилки алгебри, ви отримаєте ту саму відповідь, використовуючи будь-яку основу.

Порівнювати це з операторами з кінцевою різницею - це вже інша історія. Використання многочленів дасть вам наближення помилок до суцільної норми. Я не так добре розбираюся в кінцевих відмінностях, але я розумію, що ви отримаєте лише оцінку помилок у тих місцях, які ви вирішите дискретизувати. Що відбувається між цими пунктами, не так зрозуміло.

— Натан Коллієр
джерело

7

Я використовую поліноми Бернштейна в методі колокації для вирішення крайових задач для ODE та PDE. Вони досить цікаві.

Конвергенція була експоненціальною для деяких лінійних БВП, але трохи повільнішою порівняно з колосацією Чебишева, Легендра Галеркіна та Тау.

Ось малюнок, який порівнює показники конвергенції з деякими Чебишевськими спектральними методами. Приклад проблеми - лінійний BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

з однорідними Діріхле BC, а C - константа . $C=-4e/(1+e)^2$

введіть тут опис зображення

Я також завантажив цю фігуру на фігуру .

Якщо ви хочете, ви можете перевірити код, про який я пишу:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

І ось архівна робота, яку я писав про розв’язування еліптичних БВП на квадраті, використовуючи поліномічну колокацію Бернштейна.

Минулого року вони відзначали столітній період поліномів Бернштейна - ще один цікавий факт.

— Джоннтра Вольта
джерело

1

Про сторіччя див. Ріда Т. Фарукі, Поліномальна база Бернштейна: Сторічна ретроспектива, Комп'ютерний геометричний дизайн , Том 29, Випуск 6, серпень 2012, Сторінки 379-419, DOI: 10.1016 / j.cagd.2012.03.001 .

— lhf

2

Також цікаво: Надійні обчислення - Спеціальний випуск про використання поліномів Бернштейна в надійних обчисленнях: інтервал

— столітнього ювілею.louisiana.edu/reliable-computing-journal/…

2

Існує певна теорія використання поліномів Бернштейна в методі колокації. Якщо ви переходите до декількох прольотів (елементів), вам потрібно використовувати щонайменше B-сплайни. Див. ІЗОГОМЕТРИЧНІ МЕТОДИ КОЛОКАЦІЇ F. AURICCHIO, L. BEIRÃO DA VEIGA, TJR HUGHES, A. REALI та G. SANGALLI, Математичні моделі та методи в прикладних науках 2010 20:11, 2075-2107

C^{1}

$C^1$

— Nathan Collier

6

З наведеної нижче статті видно, що представлення поліномів у формі Бернштейна в багатьох випадках призводить до чисельно стійких алгоритмів:

Р. Т. Фарукі, В. Т. Раджан, Про числовий стан поліномів у формі Бернштейна, Комп'ютерний геометричний дизайн , Том 4, Випуск 3, листопад 1987 р., Сторінки 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

— lhf
джерело

2

Контрольні точки кривої Безьє близькі до кривої, але не обов'язково на кривій. Це точно та сама ситуація, що і для наближення поліномів Бернштейна, і насправді поліноми Бернштейна є основою кривої Безьє. Ви можете використовувати криву Безьє високого порядку, щоб намалювати плавну лінію через криву, задану шумними точками, також ніхто не зробив би цього через великі обчислювальні зусилля. Насправді, поліноміальна інтерполяція високого порядку використовується лише рідко саме з цієї причини, лише Чебишевська інтерполяція іноді є винятком із цього правила.

Але якщо ми говоримо тільки про поліноміальну інтерполяцію низького порядку, то інтуїтивна специфікація кривої Безьє через контрольні точки є явною перевагою перед іншими методами. Однак у цьому відношенні НУРБС ще кращі, але принаймні крива Безьє є особливим випадком НУРБ, а поліноми Бернштейна також є важливим інгредієнтом НУРБС.

— Томас Клімпель
джерело