Діагональне оновлення симетричної позитивної визначеної матриці

- симетрична позитивна певна (SPD) розріджена матриця. - розріджена діагональна матриця. велике ( > 10000), а кількість ненулів у зазвичай становить 100 ~ 1000. $A$ $n \times n$ $G$ $n$ $n$ $G$

Були розкладено в Холецького формівигляді . $A$ $LDL^T$

Як ефективно оновлювати і коли стає ? $L$ $D$ $A$ $A+G$

linear-algebra

Чи має G лише позитивні елементи? Якщо так, то ось тривіальна верхня межа: переглянути оновлення діагоналі як суму оновлень першого рангу. Існують методи O (n ^ 2) для обчислення LDL ^ t факторизації оновлення першої позиції (пошук у Google пропонує приклади). Тоді ваше діагональне оновлення запуститься в O (rn ^ 2), де r - кількість ненульових елементів діагоналі G. Враховуючи специфіку цих оновлень, є ярлики для збереження деяких обчислень, але незрозуміло, чи можливо це зменшити порядок нижче O (rn ^ 2).

Я погоджуюсь - я не вірю, що немає ніякого способу зробити діагональне оновлення факторизації Чолеського швидше, ніж просто повторити факторизацію, але ранжирування одного оновлення можна зробити за

час, і вам доведеться робити лише по одному для кожного відмінний від нуля на діагоналі

O (m^{2})

$O(m^2)$

G

$G$

— Брайан Борчерс

Для

в сотні, це буде важко перевершити рефакторінга

. Якщо розмір

стане набагато більшим, а

дуже рідким, це може окупитися. У будь-якому випадку, можливі оновлення та наближення висвітлюються в глибині Чи може діагональ плюс фіксовані симетричні лінійні системи вирішуватись у квадратичному часі після попереднього обчислення? .

n \sim 10^{4}

$n \sim 10^4$

n n z (G)

$\mathrm{nnz}(G)$

A

$A$

A

$A$

G

$G$

— Джед Браун

Джед, я думаю, ти повинен просувати свій коментар до відповіді тут.

— Майкл Грант

Остання версія пакету CHOLMOD SuiteSparse (бета-версія 4.4.5) підтримує зміну симетричного рядка / стовпця (оновлення rank2) для розкладання $LDL^T$ , використовуючи API matlab (і C). Я успішно використовував це в одному зі своїх проектів.

Ви можете використовувати його для того, щоб робити $nnz(G)$ оновлення факторизації. Він заснований на цій роботі.

Тому складність буде $O(nnz(G)*nnz(L))$ . Де $nnz(L)$ може бути значно зменшено при використанні наповнення, що зменшує перестановку для розрідженого $A$

Пакет можна завантажити тут

Нижче наведено кілька записок, які дав власник пакету (професор Тім Девіс):

API:

LD = ldlrowmod (LD, k) видаляє рядок / стовпець k, встановлюючи A (:, k) та A (k, :) до k-го рядка / стовпчика ідентичності.

LD = ldlrowmod (LD, k, C) замінює k-й рядок / стовпчик A (який повинен бути k-м рядком / стовпчиком тотожності) на рідкий стовпчик C.

Складність:

$O(nnz(L))$ $nnz(L)$ $O(n)$ $O(n)$

Заповніть зменшення перестановки:

$LDL^T$ $LDL^T$ $PAP^T$ $L$

— Юваль Ацмон
джерело