Зв'язки між диференціальними формами та методом кінцевих обсягів другого порядку

10

Читаючи сьогодні про теорію диференціальних форм, я залишився вражений, наскільки це нагадувало мені метод кінцевих обсягів другого порядку (FVM).

Я намагаюся зрозуміти, чи думаю це таким чином просто тривіально чи є якийсь більш глибокий зв’язок.

Що ж, диференціальні форми служать для узагальнення деяких понять, що глибоко вкорінені в другому порядку FVM, як потік рідини через поверхню, і ми всі про потоки в FVM. Тоді інтегральна теорема (Стокса) є одним із центральних об'єктів у теорії диференціальних форм. Це доведення передбачає інтеграцію диференціальних форм у колекторі, де з’являються симплекси (трикутники, тетраедри тощо). Колектор насправді тессельований таким же чином, ми представляємо гладку форму, по якій рідина проходить за допомогою прямолінійних осередків.

Це лише деякі подібні речі. Справа в тому, що читання про різні форми змусило мене не в змозі перестати думати про FVM.

Чи реально метод кінцевих томів другого порядку насправді являє собою обчислювальний прояв теорії диференціальних форм?

fluid-dynamics finite-volume

— Джоннтра Вольта
джерело

5

Ваші думки узгоджуються з деяким твором Е. Тонті, дивіться його сторінку на тему "Дискретна фізика", а також спробуйте пошук "міметичної дискретизації".

— Стефано М

1

Пригадую, я бачив щось, що називається "дискретні диференціальні форми", що, можливо, пов'язане з цим. Я думаю, що його основне використання полягає в обчислювальній геометрії, але я бачив деякі можливості в моделюванні. Google дасть вам кілька ідей.

— Reid.Atcheson

1

@Reid - Це призводить мене, серед інших, до паперів Десбруна - автора, про якого я дізнався раніше протягом дня - дуже цікаво!

— Джоннтра Вольта

1

$k$ $k$ $dx$ $\int_0^1 x^2 dx$ $x^2$ $0$

Теорема Стокса узагальнює багато ідентичностей, які ви знайомі з векторного обчислення, наприклад, теорему про дивергенцію. Ці тотожності застосовуються до інтегральних законів збереження для обчислення потоків через межі методами Кінцевих обсягів, так що, як ви підозрюєте, треба писати все в диференціальних формах.

— Патрік Санан
джерело

1

Диференціальні геометричні методи використовуються у формулюванні / розумінні методів кінцевих елементів (-об'єм).

Дивіться тут і тут

— Віджай Мурті
джерело