велика щільна проблема присвоєння низького рангу

Чи існує досить дешевий метод вирішення великої, щільної проблеми присвоєння низького рангу $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ , де $\pi$ перебігає всі перестановки. $1:n$ ?

Тут $A$ - матриця $n\times n$ низького рангу . Типові розміри становитимуть (можливо, значно більший), . $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

— Арнольд Ноймаєр
джерело

Під

π i

$\pi i$ маєш на увазі продукт, щоб ти крокував по матриці для різних

π

$\pi$ ?

— Білл Барт

π

$\pi$ працює над усіма перестановками.

— Арнольд Ноймаєр

Чи не повинен це бути

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$ ?

— Джек Поульсон

@JackPoulson:

\i (i)

$\i(i)$ та

π i

$\pi i$ це два різних позначення для зображення

i

$i$ під перестановкою

π

$\pi$ .

— Арнольд Ноймаєр

Цікаве запитання! Ви хочете використовувати структуру низького рангу лише з міркувань зберігання --- тобто врятувати від необхідності формування всієї матриці при застосуванні традиційного алгоритму призначення? Або ви шукаєте спосіб використовувати низький ранг для прискорення пошуку?

— Майкл Грант

Оскільки з , маємо де - матриця перестановки, що відповідає . $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

Для будь-якого слід може бути обчислений як (Ця кількість також відома як продукт Frobenius , ). $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

Ця ідея не забирає тягар, щоб пройти через всі перестановки і перебір пошук максимуму всіх продуктів Фробениуса, і насправді має ту ж арифметичну складність, явно вираховуючи . Тим НЕ менше, вона має набагато нижчі вимоги до пам'яті , так як ви ніколи не повинні фактично формувати . $A=R_1R_2^T$ $A$

— Ніко Шльомер
джерело