Числова квадратура з похідними

19

Більшість числових методів квадратури розглядають інтегрант як функцію чорного поля. Що робити, якщо ми маємо більше інформації? Зокрема, яку користь, якщо така є, ми можемо отримати від пізнання перших кількох похідних інтеграду? Яка інша інформація може бути цінною?

Зокрема, для похідних: оцінки помилок для основної квадратури (правила прямокутника / трапзоїда / Сімпсона) тісно пов'язані. Можливо, існує спосіб попереднього вибору дозволу вибірки замість того, щоб покладатися на динамічну адаптивність?

Мене цікавлять і одноманітний, і багатовимірний випадок.

quadrature error-estimation

— MRocklin
джерело

3

Лише незначне виправлення: прямокутник, трапеція та правило Сімпсона - це правила типу Ньютона-Кота, а не квадратури Гаусса.

— Педро

20

Я думаю, що це не зовсім те, що ви мали на увазі, але заради повноти почнемо з деяких основ. Більшість квадратурних формул, таких як Ньютон-Котс і Гаус, ґрунтуються на ідеї, що для того, щоб оцінити інтеграл функції приблизно, ви можете наблизити функцію, наприклад, поліном, який ви зможете потім точно інтегрувати:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Ньютон-Котс і Гаус базуються на інтерполяції Лагранжа , тобто ви інтерполюєте задану функцію, використовуючи її значення на множині вузлів (які розташовані рівномірно для Newton-Cotes і вибрані оптимально в певному розумінні для Гаусса). У цьому випадку , а інтеграли над функцією базису полінома на основі це саме квадратурні ваги. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Цей же підхід працює і з інтерполяцією Герміта , тобто з інтерполяцією з використанням значень функції та її похідних до певного порядку на множині вузлів. Що стосується лише функції та перших похідних значень, у вас є (ЄреалізаціяцьогоMatlab, якщо ви хочете подивитися, як це працює.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Це пов'язано з варіантом квадратури Гаусса, який називається квадратурою Гаусса-Леандра, де вузли вибираються саме для того, щоб ваги зникли (що є ще одним поясненням того, що квадратура Гаусса з вузлами точно в порядку ). Я думаю, що це хоча б частково відповідає на ваше запитання у другому абзаці. З цієї причини квадратура Гаусса зазвичай використовується замість інтерполяції Герміта, оскільки ви отримуєте те саме замовлення з однаковою кількістю очок, але не потребуєте похідної інформації. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Для багатовимірної квадратури ви стикаєтеся з проблемою, що кількість похідних (включаючи змішані похідні), які вам потрібно оцінити, зростає дуже швидко, коли порядок збільшується.

Повертаючись до вашого запитання: Безпосереднім способом використання похідної інформації було б використання підрозділу вашого інтеграційного домену та використання окремої квадратури для кожного підрозділу. Якщо ви знаєте, що похідні вашої функції є великими в якійсь частині домену, ви використовуєте або менші домени (фактично, підсумована формула квадратури), або вищий порядок квадратури. Це пов'язано з h- і p-адаптивності відповідно методами кінцевих елементів.

— Крістіан Класон
джерело

6

Існує ряд "виправлених" правил інтеграції, які викликають похідні кінцевих точок. Один простий приклад - виправлене трапецієподібне правило. Припустимо, ми хочемо наблизити інтеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

значно підвищує точність. Наприклад, розглянемо

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

відповідно. Помилки є

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

і

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

показуючи неабияке збільшення точності. Існують подальші виправлення, пов’язані з вищими похідними, або починаючи з інших правил Ньютона-Котаса або правил типу Гаусса.

— Alasdair
джерело

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ точно. Як і очікувалося, для використання цього правила тепер очікується можливість оцінити вашу функцію та ряд її похідних у довільних реальних точках. Пошук у звичайних місцях повинен містити ще кілька посилань.

— JM
джерело

4

Хоча ця нитка досить стара, я вважав, що може бути корисним посилання на рецензований документ для узагальнення деяких загальних правил квадратури.

Ненад Уевич, "Узагальнення модифікованих меж правил і помилок Сімпсона", журнал ANZIAM, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Я подумав, що було б корисно дати хороший довідник, який є у вільному доступі, і який має посилання на інші статті.

Як зазначалося вище, Alasdair, включаючи похідні кінцевих точок, може значно підвищити точність. Наприклад, Уевіч і Робертс показали, що додавання перших похідних до Правила Сімпсона зменшує помилку до 6-го порядку в інтервалі між сітками, тоді як це 4-й порядок без похідних. У документі Ujević показано, що можна знайти ще більш жорсткі межі помилок.

Н. Уевич та А. Дж. Робертс, Корекційна квадратурна формула та додатки, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Крістіан Класон запропонував мені перенести коментар, який я зробив у відповідь, тому що він вважав, що подані нами посилання хороші, і вони можуть бути втрачені, якщо коментарі будуть прочищені на якомусь етапі.)

— Лисистрата
джерело

Чи можете ви прокоментувати результати, представлені у статті?

— nicoguaro

Я можу зараз, коли мені вистачає реп-очок! Я подумав, що було б корисно дати хороший довідник, який є у вільному доступі, і який має посилання на інші статті. Як зазначалося вище, Alasdair, включаючи похідні кінцевих точок, може значно підвищити точність. Наприклад, у посиланні 6 статті, до якої я посилався, Робертс та Уевіч показали, що додавання перших похідних до Правила Сімпсона зменшує помилку до 6-го порядку в інтервалі між сітками, тоді як це четвертий порядок без похідних. У документі Ujević показано, що можна знайти ще більш жорсткі межі помилок.

— Lysistrata

1

@Lysistrata Це хороша довідка. Чи можете ви редагувати свої коментарі до самої відповіді? Коментарі можуть піти, і їх було б шкода втратити.

— Крістіан Класон