Що є сучасним у високому коливальному інтегральному обчисленні?

23

Що є найсучаснішим у наближенні сильно коливальних інтегралів як в одному вимірі, так і у вищих розмірах до довільної точності?

quadrature precision numerical-analysis

— Квадратність
джерело

Це погано .. поки що немає загального методу .. Просто багато спроб, але сподіваємось, що вони провалюються час від часу… Деякі статті стверджують, що вони мають джекпот, але коли це звучить занадто добре, щоб бути правдою… так.

@Gigi: Ласкаво просимо до SciComp! Ваш коментар трохи невиразний; Ви могли б детальніше пояснити, чому ви вважаєте, що стан техніки у наближенні сильно коливальних інтегралів поганий?

— Джефф Оксберрі

Ну, це дійсно правда, що в обчисленні сильно коливальних інтегралів ще немає "магічної кулі", але ми робимо те, що маємо, і ми завжди вдячні, якщо вони працюють.

— JM

19

Я не зовсім знайомий з тим, що зараз робиться для кубатур (багатовимірна інтеграція), тому обмежуся квадратурними формулами.

Існує ряд ефективних методів для квадратури коливальних інтегралів. Існують методи, придатні для кінцевих коливальних інтегралів, і існують методи для нескінченних коливальних інтегралів.

Для нескінченних коливальних інтегралів два більш ефективні методи, що застосовуються, - це метод Лонгмана і модифікована квадратура подвійної експоненції завдяки Оурі та Морі. (Але дивіться також ці два документи Аррі Ізерлеса.)

Метод Лонгмана покладається на перетворення коливального інтеграла в змінний ряд шляхом розбиття інтервалу інтеграції, а потім підсумовування змінного ряду методом послідовного перетворення. Наприклад, при інтеграції коливального інтеграла форми

\int_{0}^{\infty} f (t) \sin t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

один перетворює це в змінну суму

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) \sin t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Умови цієї змінної суми обчислюються деяким методом квадратури, як схема Ромберга або квадратура Гаусса. Оригінальний метод Лонгмана використовував трансформацію Ейлера , але сучасні реалізації замінюють Ейлера більш потужними методами прискорення конвергенції, такими як трансформація Шенкса або перетворення Левіна .

Метод подвійної експоненціальної квадратури , з іншого боку, робить розумну зміну змінних, а потім використовує правило трапеції для чисельної оцінки перетвореного інтеграла.

Для кінцевих коливальних інтегралів Піссенс (один із учасників QUADPACK) та Брандерс у двох працях детально описують модифікацію квадратури Кленшо-Кертіса (тобто побудову поліноміального розширення Чебішева ноноциркуляторної частини інтегранда). Метод Левіна , з іншого боку, використовує метод колокації для квадратури. (Мені кажуть, що зараз є більш практична версія старого режиму очікування, метод Філона, але я не маю цього досвіду.)

Це методи, які я пам’ятаю назовні; Я впевнений, що забув інші хороші методи для коливальних інтегралів. Цю відповідь я відредагую пізніше, якщо я їх пам’ятаю.

— JM
джерело

11

$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

Спочатку методи коливальної інтеграції орієнтовані на конкретні генератори. Як сказав Дж. М. , до відомих належать метод Філона та метод Кленшо-Кертіса (ці два тісно пов'язані між собою) для інтегралів кінцевого діапазону, а також методи, засновані на ряді екстраполяції, і метод подвійної експоненції Оура та Морі для інтегралів нескінченного діапазону.

Останнім часом були знайдені деякі загальні методи. Два приклади:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Метод Гюйбреха і Ванделлеля, заснований на аналітичному продовженні, по сложному шляху, де інтеграл не коливальний ( Huybrechs і Vandewalle, 2006 ).

Немає розрізнення між методами для інтегралів кінцевого та нескінченного діапазону для більш загальних методів, оскільки компактні перетворення можуть бути застосовані до інтеграла нескінченного діапазону, що веде до коливального інтеграла кінцевого діапазону, який все ще можна вирішити загальним методом, хоча і з інший осцилятор.

Метод Левіна може бути розширений до декількох розмірів шляхом ітерації над розмірами та іншими способами, але, наскільки я знаю, всі методи, описані в літературі, мають зразки точок, які є зовнішнім твором одновимірних точок вибірки або іншої речі що зростає експоненціально з розмірністю, тому швидко виходить з рук. Мені невідомі більш ефективні методи високих розмірів; якщо хтось міг би знайти цей зразок на розрідженій сітці у великих розмірах, це було б корисно в додатках.

Створення автоматичних підпрограм для більш загальних методів може бути складним у більшості мов програмування (C, Python, Fortran тощо), в яких ви зазвичай розраховуєте запрограмувати ваш інтегрант як функцію / рутину і передати його в порядок інтегратора, оскільки тим більше загальні методи повинні знати структуру інтегранда (які частини виглядають коливально, який тип генератора тощо) і не можуть трактувати це як "чорний ящик".

— Ендрю Мойлан
джерело

Папір Huybrechs / Vandewalle - це те, чого я ще не бачив, тому +1 для цього. Це схоже на дослідження, проведені Теммою та іншими для оцінки спеціальних функцій, за винятком того, що асимптотичні розширення не беруть участь у Huybrechs / Vandewalle. Крім того, я думаю, що подібний підхід був зроблений для першої проблеми стоцифрового виклику Трефетена кількома вирішувачами.

— JM

2

Ви також можете перевірити твори Марнікса Ван Даела та співавторів. Дивіться, наприклад, це і це .

— GertVdE
джерело